Hilbert Space

ヒルベルト空間

Last Update:2009年05月23日

目次
開空間と閉空間
- 閉包と閉空間
連続
- １次元における各種連続
完備
ノルム空間
完備距離空間（バナッハ空間）
- 有限次元の線形空間は完備
点収束と一様収束
完備化とL^p空間
内積
- Cauchy-Schwarzの不等式
- 中線定理
最良近似
- 特徴化定理
- 最良近似の存在定理
参考にしたもの

開空間と閉空間

近傍: 距離空間に対して、の $\epsilon$ -近傍( $\epsilon$ -neighbor) $N_{\epsilon}(x)$ とは、の周りのとの距離が $\epsilon$ より小さい点の集合である。つまり、
$N_{\epsilon}(x)=\{y\in D | d(x,y)\lt \epsilon \}$

内点: $x\in A$ は、ある $\epsilon$ が存在し、 $N_{\epsilon}(x)\sub A$ であるときの内点(interior point)であるといわれる。

開集合: 全ての点が内点であるような集合は開集合(open set)と呼ばれる。

閉集合: 集合はその補集合(に属さない全ての点の集合)が開空間である場合、閉空間(close set)と呼ばれる。

集積点: 任意の $\epsilon \gt 0$ に対して、点の $\epsilon$ 近傍、 $N_\epsilon(x)$ が少なくとも１つのの要素を含むときは集積点(accumulation point)と呼ばれる

閉包: の全ての集積点の集合はの閉包(closure)と呼ばれ $\bar{A}$ のように表される。

連続

連続(continuous): $f:A\rightarrow B$ が $a\in A$ で連続であるということは
$\forall\epsilon>0\quad\exist\delta>0\quad such\quad that\quad\forall x\in A\quad||x-a||_A<\delta\quad\rightarrow\quad ||f(x)-f(a)||_B<\epsilon$

がの集積点である場合は上の定義は

$\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(a)$

と書ける。

１次元における各種連続

一次元の区間において次のように各種連続は定義される。

連続(continuous): 関数が区間について連続であるとは、 $\lim_{y\in I\rightarrow x}\;f(x)-f(y)=0\;\forall x\in I$ が成り立つことである。

微分可能(differentiable): 関数が区間について微分可能であるということは $f'(x)=\lim_{y\in I\rightarrow x}\;\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ が $\forall x\in I$ について存在するということである。

連続に微分可能(continuously differentiable): 関数が区間について連続に微分可能であるということはが微分可能での微分が連続であるということである。

リプシッツ連続(Lipschitz continuous): 関数が区間についてリプシッツ連続であるとは $\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$ が $\forall x,y\in I,x\ne y$ について有界であるということである。

ヘルダー連続(Hölder continuous): 関数が区間とある係数 $\gamma\in (0,1)$ について、ヘルダー連続であるとは $\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\gamma}}$ が $\forall x,y\in I,x\ne y$ について有界であるということである。

区分的に連続(piece wise continuous): 不連続点が有限個しか存在しない、関数を区分的に連続な関数と呼ぶ。区分の区間的に連続な関数をと表す。

区分的に連続な有界関数はリーマン積分可能である。

完備

完備(complete): 集合は、任意のCauchy列 $a_n\in A$ がの中に極限を持つとき完備であると言われる。

開集合は完備ではない。完備なら閉集合である。

完備でない空間の例

有理数は完備ではない。反例は次のような１０進数の数列、

$1\qquad 1.4\qquad 1.41\qquad 1.414\qquad 1.4142$

は $\sqrt{2}$ に収束するが、 $\sqrt{2}$ は無理数である。

ノルム空間

ノルム: が線形空間であるとして、 $x\in E$ に対する $E\rightarrow \cal{C}$ の実数関数と書くとき、これが次の性質を満たせばノルムと言われる
    $||x||\ge 0\quad\forall x\in E$ （正値性）
    $||x||=0\leftrightarrow x=0$
    $||\lambda x||=|\lambda |\cdot ||x||\quad\forall \lambda\in\cal{R}\quad and\quad x\in E$ （斉次性）
    $||x+y||\le ||x||+||y||\quad \forall x,y\in E$ （三角不等式）

数列のノルム

p-ノルム: $1\le p<\infty$ として、数列 $a_n=(a_1,a_2,a_3,\ldots)$ のp-ノルムは次のように定義される
$||a||_p=\{\sum_{i=1}^{\infty} |a_i|^p\}^{\frac{1}{p}}$

∞-ノルム: 有界列に対して∞-ノルムは次のように与えられる
$||a||_{\infty}=\sup_{i\in N}|a_i|$

Holderの不等式

Hölderの不等式: が $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ を満たすとき、数列 $a\in l^p$ と $b\in l^q$ は
$\sum^{\infty}_{i=1}|a_i b_i|\le ||a||_p\cdot||b||_q$
を満たす。

ノルムと基底の係数の関係

がノルム空間であるとして、がの閉部分空間であるとする。もし $g\notin W$ として

$d=\inf_{\omega\in W}||g -\omega||$

であるとする。 $d\ne 0$ が成り立つ。なぜなら、は閉部分空間であるからその補空間は開空間であり、ある $\epsilon>0$ が存在しての $\epsilon$ -近傍にが含まれないようにできる。

このとき $\forall v\in E$ に対して、 $v=\lambda g+\omega,\quad \lambda\in\cal{R},\quad \omega\in W$ と書けるとき

$|\lambda|\le \frac{1}{d}||v||$

が成り立つ。なぜなら、

$||v||=||\lambda g+\omega||=|\lambda|\cdot ||\omega-(-\frac{g}{\lambda})||\ge|\lambda|d$

であるからである。

等価なノルム(equivalent norm): がノルム空間であるとして、との２種類のノルムがあるとする。このとき正の実数が存在して、全ての $x\in E$ に対して
$||x||\le m||x||'$ $||x||'\le M||x||$
が成り立つとき、とは等価なノルムであるという。

例：楕円型偏微分方程式において、エネルギーノルムと H^1 ノルムは等価なノルムである。

有限次元線形空間のノルムはみな等価

有限次元線形空間として、 $\forall v\in V$ が次のように成分表示されているとする。

$v=a_1 g_1+a_2 g_2+\cdots+a_k g_k$

のノルムがみな次で定義されるノルム ||.||_1 と等価であることを示す。

$||v||_1=\sum_{i=1}^n |a_k|$

証明

さて、ノルムと基底の係数の関係から、任意のノルム ||.|| について次が成り立つ

$|a_1|\le \frac{1}{d_1} ||v||$

同様の操作を $i=1,\ldots,n$ について行う。

$|a_i|\le \frac{1}{d_i} ||v||$

よって

$||v||_1=\sum_{i=1}^n |a_i|\le $\sum_{i=1}^n\frac{1}{d_i}$||v||$

が成り立つ。また、

$||v||=||\sum_{i=1}^n a_k g_k||\le \sum_{i=1}^n ||a_k g_k||\le\quad$\max_{i=1,\ldots,n}||g_i||$ \sum_{i=1}^n |a_k|=\quad$\max_{i=1,\ldots,n}||g_i||$ ||v||_1$

よって題意は証明された。□

完備距離空間（バナッハ空間）

完備な距離空間をバナッハ空間と呼ぶ。

有限次元の線形空間は完備

有限次元の線形空間は完備である。

証明

を空間の次元数として、についての数学的帰納法で示す。

(i) k=0 のとき明らか

(ii) k-1 次元の線形空間が完備であるとする。この場合、次元の線形空間が完備であることを示す。ここでの基底が $\{g_1,g_2,\ldots,g_k\}$ であるとする。また a_n がの中のCauchy列であるとしよう。 a_n を成分表示すると、

$a_n=a^1_n g_1+a^2_n g_2+\cdots+a^k_n g_k$

まず a^1_n がCauchy列であることを示す。が $\{g_2,g_3,\ldots,g_k\}$ を基底とするの部分空間であるとすると、帰納法の仮定からは完備である。よっては閉じた部分空間である。上の補題よりある d>0 が存在して、

$|a^1_n-a^1_m|\le\frac{1}{d} ||(a^1_n-a^1_m)g_1+$(a^2_n-a^2_m)g_2+(a^3_n-a^3_m)g_1+\cdots+(a^k_n-a^k_m)g_k$||=\frac{1}{d}||a_n-a_m||$

よって a^1_n はCauchy列である。 $\lim_{n\rightarrow \infty}a^1_n=\alpha^1$ であるとする。同様の操作をおのおのの基底について行い a^i_n の極限を $\alpha^i_n$ とする。

次に a_n の極限が $a=\alpha^1_n g_1+\alpha^2_n g_2+\cdots+\alpha^k_n g_k$ と表されることを示す。

a^i_n の収束より、任意の $\epsilon>0$ について、あるが存在し、

$|a^i_n-\alpha_i|<\frac{1}{k}\frac{\epsilon}{||g_i||}$

が全ての $i\in 1,\ldots k$ と n>N について成り立つ。これを用いると

$||a_n-a||=||(a^1_n-\alpha^1)g_1+(a^2_n-\alpha^2)g_2+\cdots+(a^k_n-\alpha^k)g_k||\\\qquad\qquad\le||a^1_n-\alpha^1||\cdot||g_1||+||a^2_n-\alpha^2||\cdot||g_2||+\cdots+||a^k_n-\alpha^k||\cdot||g_k||\\\qquad\qquad < \epsilon$

となる。よって極限が存在するのでは完備

以上から有限次元の線形空間が完備であることが分かる□

有限要素法ではRitz-Galerkin法を用いて、エネルギーノルムにおける有限要素法離散化空間内で弱解の最良近似を求める。有限要素法離散化空間は有限次元の空間であるので完備である。これを用いると弱解の最良近似は常に存在することがわかる。

点収束と一様収束

一様ノルム,L^∞ノルム: 一様ノルム $||.||_{\infty}$ は $f\in \cal{B}(I)$ について、
$||f||_{\infty}=\sup_{x\in I}|f(x)|$
と定義される。

一様収束: 関数列 $f_n\in \cal{B}(I)$ が、ある関数 $f\in \cal{B}(I)$ に一様収束するとは
$\lim_{n\rightarrow\infty}||f-f_n||_{\infty}=0$
である。

点収束: 関数列 $\{f_n\}\in \cal{B}(I)$ は、極限 $f\in \cal{B}(I)$ が全ての $x\in I$ に対して
$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)$
が成り立つとき点収束するという。

一様収束と点収束

一様収束すれば点収束する

一様収束すれば点収束するこをを示す。

$|f(x)-f_n(x)|\le \sup_{y\in I}|f(y)-f_n(y)|=||f-f_n||_{\infty}$

であるから、一様収束すれば点収束する。

点収束しても一様収束するとは限らない

区間 [0,1] において、 f_n(x)=x^n は

$f(x)=\{\begin{array}{ll}0&for\quad 0\le x<1\\1&for\quad x=1\end{array}$

に点収束するが、一様収束はしない。なぜなら常に $||f-f_n||_{\infty}=1$ であるからである。

一様収束は点収束よりも強い意味での収束であることがいえる。

有界関数の一様ノルムにおける完備性

有界関数が一様ノルムで完備であることを示すためには、有界関数の列 $f_n\in B(I)$ がCauchy列であれば有界関数に一様収束することを示せばよい。

f_n がCauchy列であるとする。すなわち、

$\forall\epsilon>0\quad\exist N\quad st\quad ||f_n-f_m||_\infty<\epsilon\quad (\quad n,m>N\quad )$

任意の $\epsilon>0$ について、あるが存在して n,m>N について、 $||f_n-f_m||_\infty<\epsilon$ となる。

ここで $x\in I$ について

$|f_n(x)-f_m(x)|\le ||f_n-f_m||_\infty < \epsilon$

が成り立つので f_n(x) はCauchy列である。 f_n(x) の収束先を f(x) とする。つまりは f_n の点収束先

さて、上の不等式のを固定したまま、 $n\rightarrow\infty$ を計算すると

$||f_m(x)-f(x)||_\infty<\epsilon$

となる。これが任意の $x\in I$ について成り立つので

$||f_m \qquad -f||_\infty<\epsilon$

つまり f_n はに一様収束しているということが言える。また、あるについて、 $||f_n||_\infty\le M$ が成り立つとき、上から $||f||\le M+\epsilon$ がいえる。よって一様収束する先は有界関数

以上から有界関数が完備であることが示された□

連続関数の一様ノルムにおける完備性

Bolzano-Weirstrausの定理から[a,b]で定義される連続関数は全て有界である。つまり

$C[a,b]\sub B[a,b]$

が成り立つ。

上から、 B(I) は完備であったから、 C[a,b] のCauchy列は B(I) に収束する。よって、収束した先が連続であることを証明すれよい。

関数列 $f_n\in C[a,b]$ とする。 f_n が一様収束する先をとしよう。さて、 $x,x_0\in [a,b]$ に対して、

$|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(x_0)+f_n(x_0)-f(x_0)|\\\quad\quad\quad\quad\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|$

が成り立つ。

さて、 f_n は連続関数であったので、 $\forall\epsilon>0$ に対して、 $|x-x_0|<\delta$ なら $|f_n(x)-f_n(x_0)|<\epsilon/3$ であるような $\delta$ が存在する。

また、 f_n はに一様収束するので、 $\forall\epsilon>0$ に対して、が十分大きければ $|f(x)-f_n(x)|<\epsilon/3$ 、 $|f(x_0)-f_n(x_0)|<\epsilon/3$ となる。

以上から

$\forall\epsilon>0\quad\exist\delta\quad |x-x_0|<\delta\rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

であるといえる。つまりは連続関数

よって題意は証明された□

完備化とL^p空間

稠密

稠密(dense): がの部分空間であり、の閉包がである、つまり $\bar{E}=F$ であるとき、はの中で稠密であるという。

稠密な例

有理数は実数の中で稠密である。

稠密でない例

整数は実数の中で稠密ではない。

$\epsilon<0.5$ のとき、 $|0.5-i|<\epsilon$ を満たすような $i\in Z$ が存在しない。

連続関数が稠密な部分空間で０なら全空間で０、（等式延長の原理の特殊な場合）

がの中で稠密であるとする。ある連続関数 $f:Y\rightarrow R$ が

$f(x)=0\quad \forall x\in X$

を満たすなら、

$f(y)=0\quad \forall y\in Y$

が成り立つ。

証明

$x\in X$ 、 $y\in Y$ であるとする。が連続関数であったから、

$\forall\epsilon>0\quad\exist\delta>0\quad st\quad ||y-x||<\delta\rightarrow|f(y)-f(x)|=|f(y)|<\epsilon$

$\forall y\in Y$ についてがで稠密であったから、に収束する列 $x_n\in X$ が存在する。つまり、上の $\delta$ に対して、ある自然数が存在して

$||x_n-y||<\delta, \quad \forall n>N$

となる。つまり、どんなにたいしても $\delta$ より距離の近いの要素が存在する。

以上より、 $\forall\epsilon>0$ に対して $|f(y)|<\epsilon$ とすることができる。つまり f(y)=0 □

これは、もし稠密な部分空間である連続的なことが成り立つことは全空間で成立つことを示している。

稠密であることの使用例

がの中で稠密であるとき、の任意の元に対して、

$||f-e||<\epsilon\;\;\forall \epsilon >0$

となるような $e\in E$ が存在する。

これはFの任意の元はEの元によって任意の精度で近似することができるということを表している。

例えば、無理数は小数で近似することができる。

弱解の有限要素法離散空間による近似

$C^{\infty}$ 級関数は H^1 空間で稠密であることを用いて、有限要素法の妥当性がいえる。

$C^{\infty}$ 級関数は微分が区分連続な連続関数の空間の部分空間であるから、微分が区分連続な連続関数の空間も H^1 空間の中で稠密であるといえる。

変分原理から導かれる弱解は H^1 空間中にあり、エネルギーノルムと H^1 ノルムは微分方程式の楕円性により等価である。つまり、弱解は微分が区分連続な連続関数によってエネルギーノルムで任意の精度で近似することができる。

エネルギーノルムにおける離散空間中での弱解の最良近似が有限要素法解である。メッシュを好きなだけ細かくすることができれば、有限要素法を使ってエネルギーノルムや H^1 ノルムで弱解を任意の精度で近似することができることがわかる。

完備化(completion): 空間が完備であり、がの中で稠密であるときはを完備化(completion)したものと呼ばれる。

L^P空間

ノルム: ノルムとは、
$||f||=\{\int^b_a |f(x)|^p dx\}^{\frac{1}{p}}$
で定義されるノルムである。但し、 $1\le p \lt\infty$ とする。

L^p空間の性質

空間は完備
空間は空間の中で稠密。よってをノルムを用いて完備化したものはである。

Holderの不等式

Hölderの不等式: $f\in L^p(a,b)$ 、 $g\in L^q(a,b)$ であり、 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ であるとする。
$||fg||_1=\int^b_a |f(x)g(x)|dx\le ||f||_p||g||_q$
が成り立つ。

L^p空間の包含関係

$1\le p\le q\le\infty$ であるとき、 $L^q\sub L^p$ を満たす。

証明

$f\in L^p(a,b)$ とする。に依存しないある正の定数が存在して、 $||f||_q\le C||f||_p$ であるとことを示せばよい。

$s=\frac{q}{p}$ と置き、Hölderの不等式に |f|^p,1 を代入する。

$\=|f|^p\cdot 1\=_{L^1}\le \=|f|^p\=_{L^s} ||1||_{L^{1/(1-\frac{p}{q})}} \\\Leftright \int_a^b \| |f|^p\cdot 1\|dx\le ||1||_{L^{1/(1-\frac{p}{q})}} \left(\int_a^b \left | |f|^p \right |^{\frac{q}{p}} dx\right\)^{\frac{p}{q}} \\\Leftright \int_a^b |f|^p dx\le ||1||_{L^{1/(1-\frac{p}{q})}} \left(\int_a^b |f|^q dx\right\)^{\frac{p}{q}} \\\Leftright ||f||_{L^p}^p \le ||1||_{L^{1/(1-\frac{p}{q})}} ||f||_{L^q}^p \\\Leftright ||f||_{L^p} \le ||1||^{\frac{1}{p}}_{L^{1/(1-\frac{p}{q})}} ||f||_{L^q}$

よって $||f||_{L^p} \le C||f||_{L^q}$ が成立つ。このことから $f\in L^q$ であれば $f\in L^p$ である。つまり、 $L^q\sub L^p$ □

連続関数はp-ノルムで完備ではない

前に連続関数 C[a,b] は $||.||_{\infty}$ ノルムで完備であることを述べたが、 ||.||_p ノルムでは連続関数は完備ではない

反例は次のような関数列 f_n(x) によって与えられる。

$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}1&for\quad x\ge \frac{1}{n}\\ nx&for\quad-\frac{1}{n}\le x\le \frac{1}{n} \\ -1&for\quad x\le -\frac{1}{n} \end{array}$

この関数がCauchy列であることを示し、極限が連続関数でないことを示す。

$||f_n-f_m||_p=\{\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}|f_n(x)-f_m(x)|^p dx\}^{\frac{1}{p}}\le \{\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} 1dx\}^{\frac{1}{p}}=\{\frac{2}{n}\}^{\frac{1}{p}}$

よって $\forall\epsilon>0$ について、 $N>\frac{2}{\epsilon^p}$ とすれば

$||f_n-f_m||_p\le\epsilon \quad\forall m,n\ge N$

となる。よって f_n はCauchy列となる。しかしながら、 f_n の極限は

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1&for\quad x<0\\ 1&for\quad x>0\end{array}$

である。これは連続関数ではない。よって連続関数は ||.||_p ノルムで完備では無い。

内積

内積空間: 空間は、 $f,g\in H$ についてで表されるような実数が存在して、次の性質を満たすとき内積空間と呼ばれる。

    $(\lambda f,g)=\lambda (f,g)$

    $(f,f)\gt 0,\quad if\quad f\ne 0,\quad and \quad (f,f)=0\quad for\quad f=0$

Cauchy-Schwarzの不等式

内積空間の中の f,g について、

$|(f,g)|\le ||f||\cdot||g||$

が成り立つ。

中線定理

$f,g\in H$ について、

2(||f||^2+||g||^2)=||f+g||^2+||f-g||^2

が成り立つ。

分極公式

あるノルム空間にが内積空間である必要十分条件は、中線定理が成り立つことである。

このとき、内積は

$(x,y)=\frac{1}{4}$||x+y||^2-||x-y||^2$$

と定義される。

最良近似

最良近似(best approximation): をノルム空間とし、 $f\in H$ 、 $G\sub H$ とする。 $g\in G$ は次のときの中のの最良近似(best approximation)と言われる
$||f-g||\le\||f-h||\quad\forall h\in G$