Linear Operator

線形作用素

Last Update:2009年05月23日

有界線形写像

有界線形写像: がノルム空間であるとし、 $A:E\rightarrow F$ は線形写像であるとする。が有界であるというのは、ある $M\ge 0$ が存在して
$||A(f)||_F\le M||f||_E$ が全ての $f\in E$ について成り立つということである。

写像ノルム: がノルム空間であるとし、 $A:E\rightarrow F$ は線形写像であるとする。のノルムは次のように定義される
$||A||=\inf\{M\ge0\quad|\quad\forall f\in E\quad holds\quad||A(f)||_F\le M||f||_E}$

写像ノルムの別の定義

$||A||=\sup_{f\ne 0}\frac{||A(f)||_F}{||f||_E}$

右辺について、をスケーリングして $\lambda f$ としても全く影響しないので次のような定義も可能である。

$||A||=\sup_{||f||_E=1} ||A(f)||_F$

写像ノルムを探す手続き

写像ノルムを見つける定石としては次のものがある

任意のに対して、 $||A(f)||\le M||f||$ が成り立つようなを探す。これはノルムの候補であり、ノルムと $||A||\le M$ の関係にある。
運がよくとなるような $f_0\ne 0$ を見つけることができればがノルムである。一般的には但し、 $N_n\rightarrow M$ となるような列を見つけることができればがノルムである。

積分作用素

k(x,y) が $(x,y)\in [a,b]\times [a,b]$ で定義されているとする。

また $k\in L^2$ であるとする。つまり、

$\int^b_a\int^b_a |k(x,y)|^2 dxdy$

が存在し、有界である。

このとき次で定義される汎関数 $A:L^2(a,b)\rightarrow L^2(a,b)$ を g=A(f) というように表す。

$g(x)=(Af)(x)=\int_a^b k(x,y)f(y)dy$

この作用素のノルムを求めてみよう。

$|g(x)|^2= \|\int_a^b k(x,y)f(y)dy\|^2\le \int_a^b|k(x,y)|^2dy\int_a^b|f(y)|^2dy=\int_a^b|k(x,y)|^2dy\cdot||f||^2$

$||g||^2=\int_a^b |g(x)|^2 dx\le \int_a^b \int_a^b|k(x,y)|^2dydx \cdot ||f||^2$

よって作用素のノルムは

$||A||=\{\int_a^b \int_a^b|k(x,y)|^2dydx\}^{\frac{1}{2}}$

となる。

核(nullspace,kernel): 写像の核 $\cal{A}$ とは
$\cal{N}(A)=\{f\in E|A(f)=0\}$
となるようなの線形部分空間である。

像または値域(image,range): 写像の像または値域 $\cal{A}$ とは
$\cal{R}(A)=\{g\in F|\exist f\in E\quad with\quad A(f)=g \}$
となるようなの部分空間である。

可逆(invertible): 作用素 $A:E\rightarrow F$ とすると、 $\forall g\in F$ に対してある、を満たすような、 $g\in E$ が唯一定まるとき可逆であるという。このときの $F\rightarrow E$ の写像を $f=A^{-1}(g)$ と表し、の逆と呼ぶ。

別の定義

空間 E,F において作用素 $A:E\rightarrow F$ と $B:F\rightarrow E$ とすると

A,B が可逆であることは、 AB=Id かつ BA=Id であることと同値

無限次元の空間ではAB=Iだけでは必ずしもAやBが可逆であることは言えないこれは注意が必要である。

例えば右シフト演算子と左シフト演算子では、 LR=I であるが、 $RL\ne I$ である．

バナッハ空間では有界作用素の逆は有界

E,F が完備距離空間、つまりバナッハ空間であるとして、有界線形作用素 $A:E\rightarrow F$ が逆を持つなら、 $A^{-1}$ も有界な線形写像である

ヒルベルト空間内の補空間

直和

をノルムが定義された空間とし、 G_1,G_2 をその部分空間とする。もし

$\forall f\in E$ に対してとなるような、 $g_1\in G_1$ 、 $g_2\in G_2$ が存在する。
$G_1\cap G_2=\{0\}$
は閉空間

を満たすなら、は G_1 と G_2 の直和といい、

$E=G_1 \oplus G_2$

と表す

分解の一意性

分解の一意性を示そう。

f=g_1+g_2 、 f=h_1+h_2 と書けたとする。但し $g_1,h_1\in G_1$ 、 $g_2,h_2\in G_2$

$h_1+h_2=g_1+g_2 \leftrightarrow h_1-g_1=g_2-h_2$

$h_1-g_1\in G_1$ 、 $h_2-g_2\in G_2$ 、 $G_1\cap G_2=\{0\}$

よって h_1-g_1=g_2-h_2=0

つまり g_1=h_1 、 g_2=h_2 が成り立つ

直交補空間

直交補空間: ある部分空間に対して、 $G^{\bot}=\{f\in H;(f,g)=0\quad\forall s\in G\}$ を直交補空間と呼ぶ

直交補空間は線形空間

$f_1,f_2\in S^{\bot}$ でだとして、 $\lambda_1,\lambda_2\in \cal{R}$ であるとすると全ての $s\in S$ について、

$(\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2,s)=\lambda_1(f_1,s)+\lambda_2(f_2,s)=0$

よって $\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2\in S^{\bot}$ よって $S^{\bot}$ は線形空間である。

直交補空間は閉空間

直交補空間の補空間が開集合であることを示して、直交空間が閉空間であることを示す。 $f\notin S^{\bot}$ とする。つまり、

$\exist s\in S\quad st\quad |(f,s)|=\epsilon\ne 0$

ここで、任意の $g\in H$ が $||f-g||\lt \frac{\epsilon}{||s||}=\epsilon'$ を満たすとする。

$|(g,s)| \ge |(f,s)|-|(g-f,s)| \qquad (Triangle\quad inequality)\\\quad\quad\quad\quad \ge \epsilon-||g-f||\cdot||s||\gt 0$

よって $N_{\epsilon'}(f)\sub S$ が成り立ち、はの内点

全ての $S^{\bot}$ の補空間の中の点が内点なので、 $S^{\bot}$ の補空間は開集合である。

補空間が開集合なので、 $S^{\bot}$ は閉集合

Hirbert空間の直和分解

をHilbert空間であるとする。またを線形閉部分空間とすると

$H=G\oplus G^{\bot}$

となる。

直和分解されるためには、閉空間でなければならないということに注意されたい。

証明

直和の３つの性質が満たされるか確認してみよう。

$g\in H$ とする。をのにおける最適近似とするとというように表したとき $g-g_1\in G_2$ である。よっての任意の要素はとの成分の和によって表される。
$g_0\in G_1\cap G_2$ とすると、よって
前の証明から直交補空間は閉集合であった。よって $G^{\bot}$ は閉集合

以上から題意は証明された□

正射影演算子

正射影: ヒルベルト空間の閉部分空間をとすると、 $f\in H$ に対して
$f=g_0+g_1\quad g_0\in G\quad g_1\in G^{\bot}$
と分解するとき、はのへの正射影といい、と表す。

有界線形作用素の空間

有界線形写像の完備性に関する定理

E,F ノルム空間であるとする。が完備、つまりバナッハ空間である場合からへの有界線形写像 BL(E,F) も同様にバナッハ空間である。

証明

A_n を BL(E,F) の中のコーシー列であるとする。 A_n が $A\in BL(E,F)$ に収束することを示せばよい。

ここではまず、の候補として任意の $f\in E$ が点収束する先を選び、その後にそれが A_n の極限なのかを調べる。

任意の $f\in E$ に対して

$||A_n(f)-A_m(f)||_F=||(A_n-A_m)(f)||_F\le||A_n-A_m||\cdot||f||_E$

が成り立つ。 A_n-A_m がコーシー列であったから、n,mを大きくすれば、右辺は好きなだけ小さくできる。よって $A_n(f)\in F$ はの中のコーシー列である。がバナッハ空間であり、完備であるから、極限 A(f) が存在して

$A(f)=\lim_{n\rightarrow\infty} A_n(f)$

となる。よって

$\forall \epsilon>0\quad \exist N\quad st\quad ||A(f)-A_n(f)||_F\le\epsilon||f||_E\quad for\quad n>N$

が成り立つ。この場合ノルムの定義から

$||A-A_n||\le \epsilon$

が成り立つ。これはが A_n に収束することを意味している。□

ノイマン級数

をバナッハ空間として、有界線形作用素 $A:E\rightarrow E$ が ||A||<1 を満たすとき、 Id-A は可逆で

$(Id-A)^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty} A^i$

となる。

完全連続作用素

有限次元作用素(finite dimentional operator): をヒルベルト空間とする。作用素 $A\in BL(H,H)$ は閾値 $\cal{R}(A)$ がの有限次元部分空間である場合、有限次元作用素という。

完全連続作用素(compact operator): 全ての有限次元作用素の集合を $\cal{F}$ と書いた時に、ある有界線形作用素 $A\in BL(H,H)$ が $\cal{F}$ の閉包 $\bar{\cal{F}}$ に入っていれば、完全連続作用素という

有限次元作用素は完全連続作用素

$\cal{F}\in \bar{\cal{F}}$ より、全ての有限次元作用素は、完全連続作用素である。

特にが有限次元空間である場合は、有界線形作用素と完全連続作用素であることは同値である。

完全連続作用素は有限次元作用素の極限

定義から $A:H\rightarrow H$ はある有限次元作用素 A_n が存在して、

$A=\lim_{n\rightarrow\infty} A_n$

となるとき、完全連続作用素となる。

完全連続作用素の別の定義

完全連続作用素は弱収束列を強収束列に写す線形写像という定義の仕方もある。つまり

$\forall y\in H\quad (A x_n,y)\rightarrow (Ax,y)$

ならば

$||A x_n-A x|| \rightarrow 0$

部分列の収束に関する定理

がヒルベルト空間であるとし、 $A:H\rightarrow H$ が有界完全連続作用素であるとする。また、任意の点列 $f_n\in H$ が ||f_n||=1 を満たすとする。このとき列 A f_n は収束する部分列を含んでいる。

証明

が有界完全連続作用素なので、ある有界有限次元作用素の列 A_n を使って、

$\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=A$

とできる。さて、ここで A_1 について考えよう。 A_1 が有界有限次元作用素である。

さて、 $f\in H\quad,||f||=1$ の A_1 による像を B_1 とおく。 A_1 は有界で有限次元作用素であったので、 B_1 は有界で有限次元である。列 $A_1 f_n\in B_1$ である。 B_1 が有界で有限次元であることから、Bolzano-Weirstrausの定理を用いると、 A_1 f_n から収束する部分列を取り出すことができる。これを f^1_n とおく。また、 A_1 f^1_n は $g_1\in\bar{B_1}$ に収束するとする。

同様にして A_2 について、列 f^1_n の中から、部分列 f^2_n を選び、列 A_2f^2_n が $g_2\in\bar{B_2}$ に収束できるようにできる。この処理を無限に繰り返す。つまり列 $f^{k+1}_n$ は列 f^k_n の部分列で $g_{k+1}$ に収束するとする。

さてここでこのような列の列 f_k^n に対して k=n の要素に着目する。（対角線論法(diagonal procedure)という） h_n=f^n_n とおく。 ||f_n||=1 であったから、当然 ||h_n||=1 を満たす。

h_n が題意の部分列であることを示そう。それには A h_n がCauchy列であることを示せばよい。

$||A h_n-A h_m||=||A h_n-A_k h_n+A_k h_n-A_k h_m+A_k h_m-A h_m||\\\qquad\qquad\le||(A-A_k) h_n||+||A_k( h_n-h_m)||+||(A-A_k) h_m||\\\qquad\qquad\le2||A-A_k||+||A_k(f^n_n-f^m_m)||\\\qquad\qquad=2||A-A_k||+||A_k(f^k_{n_k}-f^k_{m_k})||\\\qquad\qquad\le2||A-A_k||+||A_kf^k_{n_k}-g_k||+||A_kf^k_{m_k}-g_k||$

但し n_k は要素 f^n_n の列 f^k の中の位置。明らかに、 n,m を大きくすれば、右辺は幾らでも小さくできる。したがって A h_n はCauchy列であり、の完備性より収束する。よって題意は示された□

共役空間

共役空間: ノルム空間の有界線形汎関数全体をと表し、の共役空間と呼ぶ

共役空間の完備性

ノルム空間の共役空間 N^* は完備である。すなわちバナッハ空間である。

回帰的(reflexive): ノルム空間が $N^{**}$ と一致するとき、回帰的(reflexive)であるという。つまり、任意の $x^{**}\in X^{**}$ に関して
$x^{**}(x^*)=x^*(x)$
となるような $x\in X$ が存在する。また、 $N^{**}$ は完備であったから、回帰的なノルム空間は必ず完備である。

線形関数の解は閉超平面

をノルム空間とする。また、 $\psi\in E^*$ 、 $\psi\ne 0$ とする。このとき、ある $c\in \cal{R}$ に対して、集合

$M=\{f\in E|\psi(f)=c\}$

はの中の閉超平面である。

証明

$g_0\in E$ は $\psi(g_0)\ne 0$ で、スケーリングによって $\psi(g_0)=1$ を満たすとする。

$G_2=\{g_0\}$ であるとする。つまり G_2 は g_0 の線形倍からなる部分空間

まず $E=\cal{N}(\psi)\oplus G_2$ であることを示す。

任意の $f\in E$ について、 $\alpha=\psi(f)$ であるとすると、

$f=(f-\alpha g_0)+\alpha g_0$

のようにかける。 $\psi(f-\alpha g_0)=0$ から $f-\alpha g_0\in \cal{N}(\psi)$ である。また明らかに $\alpha g_0\in G_2$ である。

$f\in\cal{N}(\psi)\cap G_2$ であるとすると、 $f\in G_2$ より $f=\beta g_0$ と書ける。

g_0 の定義から $\psi(\beta g_0)=\beta$ である。しかしながら $\beta f\in\cal{N}(\psi)$ より $\psi(\beta g_0)=0$ よって、 $\beta=0$ である。

つまり、 $f\in\cal{N}(\psi)\cap G_2\rightarrow f=0$

これは $\cal{N}(\psi)\cap G_2=\{0\}$ を意味している。

それに加えて $\cal{N}(\psi)$ 、 G_2 はともに閉空間である。

以上から、 $E=\cal{N}(\psi)\oplus G_2$ であることが示された。

G_2 は１次元であったために、明らかに $M=\cal{N}(\psi)+c g_0$ と書ける。□

Rieszの表現定理

がヒルベルト空間であるとし、ある関数 $\psi:H\rightarrow \cal{R}$ が有界線形関数であるとする。

このとき、ある $g\in H$ が存在して

$\psi(f)=(f,g)$

となる。さらに $||\psi||=||g||$ となる。

証明

$\psi=0$ のときは g=0 とすればよい。ここからは $\psi\ne 0$ について考える。

まず、 $g\in \cal{N}(\psi)^{\bot}$ であることを示す。

$g\notin \cal{N}(\psi)^{\bot}$ であるとすると、 $f\in \cal{N}(\psi)$ に $(g,f)\ne 0$ となるが存在する(をの $\cal{N}(\psi)$ への射影ととった場合)。これは $(f,g)=0\quad\forall f\in \cal{N}(\psi)$ に反する。よって $g\in \cal{N}(\psi)^{\bot}$