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Linear Operator

線形作用素




Last Update:2009年05月23日


目次

有界線形写像

有界線形写像
E,Fがノルム空間であるとし、A:E\rightarrow Fは線形写像であるとする。Aが有界であるというのは、あるM\ge 0が存在して
||A(f)||_F\le M||f||_Eが全てのf\in Eについて成り立つということである。
写像ノルム
E,Fがノルム空間であるとし、A:E\rightarrow Fは線形写像であるとする。Aのノルム||A||は次のように定義される
||A||=\inf\{M\ge0\quad|\quad\forall f\in E\quad holds\quad||A(f)||_F\le M||f||_E}

写像ノルムの別の定義

||A||=\sup_{f\ne 0}\frac{||A(f)||_F}{||f||_E}

右辺について、fをスケーリングして\lambda fとしても全く影響しないので次のような定義も可能である。

||A||=\sup_{||f||_E=1} ||A(f)||_F

写像ノルムを探す手続き

写像ノルムを見つける定石としては次のものがある

  1. 任意の||f||に対して、||A(f)||\le M||f||が成り立つようなMを探す。これはノルムの候補であり、ノルムと||A||\le Mの関係にある。
  2. 運がよく||A(f_0)||=M||f_0||となるようなf_0\ne 0を見つけることができればMがノルム||A||である。一般的には||A(f_n)||=N_n||f_n||但し、N_n\rightarrow Mとなるような列f_nを見つけることができればMがノルム||A||である。

積分作用素

k(x,y)(x,y)\in [a,b]\times [a,b]で定義されているとする。

またk\in L^2であるとする。つまり、

\int^b_a\int^b_a |k(x,y)|^2 dxdy

が存在し、有界である。

このとき次で定義される汎関数A:L^2(a,b)\rightarrow L^2(a,b)g=A(f)というように表す。

g(x)=(Af)(x)=\int_a^b k(x,y)f(y)dy

この作用素のノルムを求めてみよう。

|g(x)|^2= \|\int_a^b k(x,y)f(y)dy\|^2\le \int_a^b|k(x,y)|^2dy\int_a^b|f(y)|^2dy=\int_a^b|k(x,y)|^2dy\cdot||f||^2

||g||^2=\int_a^b |g(x)|^2 dx\le \int_a^b \int_a^b|k(x,y)|^2dydx \cdot ||f||^2

よって作用素のノルムは

||A||=\{\int_a^b \int_a^b|k(x,y)|^2dydx\}^{\frac{1}{2}}

となる。

核(nullspace,kernel)
写像Aの核\cal{A}とは
   \cal{N}(A)=\{f\in E|A(f)=0\}
となるようなEの線形部分空間である。
像または値域(image,range)
写像Aの像または値域\cal{A}とは
   \cal{R}(A)=\{g\in F|\exist f\in E\quad with\quad A(f)=g \}
となるようなFの部分空間である。
可逆(invertible)
作用素A:E\rightarrow Fとすると、\forall g\in Fに対してある、A(g)=fを満たすような、g\in Eが唯一定まるとき可逆であるという。このときのF\rightarrow Eの写像をf=A^{-1}(g)と表し、Aの逆と呼ぶ。

別の定義

空間E,Fにおいて作用素A:E\rightarrow FB:F\rightarrow Eとすると

A,Bが可逆であることは、AB=IdかつBA=Idであることと同値

無限次元の空間ではAB=Iだけでは必ずしもAやBが可逆であることは言えないこれは注意が必要である。

例えば右シフト演算子Rと左シフト演算子Lでは、LR=Iであるが、RL\ne Iである.

バナッハ空間では有界作用素の逆は有界

E,Fが完備距離空間、つまりバナッハ空間であるとして、有界線形作用素A:E\rightarrow Fが逆を持つなら、A^{-1}も有界な線形写像である

ヒルベルト空間内の補空間

直和

Eをノルムが定義された空間とし、G_1,G_2をその部分空間とする。もし

  1. \forall f\in Eに対してf=g_1+g_2となるような、g_1\in G_1g_2\in G_2が存在する。
  2. G_1\cap G_2=\{0\}
  3. G_1,G_2は閉空間

を満たすなら、EG_1G_2の直和といい、

E=G_1 \oplus G_2

と表す

分解の一意性

分解の一意性を示そう。

f=g_1+g_2f=h_1+h_2と書けたとする。但しg_1,h_1\in G_1g_2,h_2\in G_2

h_1+h_2=g_1+g_2 \leftrightarrow h_1-g_1=g_2-h_2

h_1-g_1\in G_1h_2-g_2\in G_2G_1\cap G_2=\{0\}

よってh_1-g_1=g_2-h_2=0

つまりg_1=h_1g_2=h_2が成り立つ

直交補空間

直交補空間
ある部分空間Gに対して、G^{\bot}=\{f\in H;(f,g)=0\quad\forall s\in G\}を直交補空間と呼ぶ

直交補空間は線形空間

f_1,f_2\in S^{\bot}でだとして、\lambda_1,\lambda_2\in \cal{R}であるとすると全てのs\in Sについて、

(\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2,s)=\lambda_1(f_1,s)+\lambda_2(f_2,s)=0

よって\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2\in S^{\bot}よってS^{\bot}は線形空間である。

直交補空間は閉空間

直交補空間の補空間が開集合であることを示して、直交空間が閉空間であることを示す。f\notin S^{\bot}とする。つまり、

\exist s\in S\quad st\quad |(f,s)|=\epsilon\ne 0

ここで、任意のg\in H||f-g||\lt \frac{\epsilon}{||s||}=\epsilon'を満たすとする。

|(g,s)| \ge |(f,s)|-|(g-f,s)| \qquad (Triangle\quad inequality)\\\quad\quad\quad\quad \ge \epsilon-||g-f||\cdot||s||\gt 0

よってN_{\epsilon'}(f)\sub Sが成り立ち、fSの内点

全てのS^{\bot}の補空間の中の点が内点なので、S^{\bot}の補空間は開集合である。

補空間が開集合なので、S^{\bot}は閉集合

Hirbert空間の直和分解

HをHilbert空間であるとする。またGを線形閉部分空間とすると

H=G\oplus G^{\bot}

となる。

直和分解されるためには、閉空間でなければならないということに注意されたい。

証明

直和の3つの性質が満たされるか確認してみよう。

以上から題意は証明された□

正射影演算子

正射影
ヒルベルト空間Hの閉部分空間をGとすると、f\in Hに対して
    f=g_0+g_1\quad g_0\in G\quad g_1\in G^{\bot}
と分解するとき、g_0fGへの正射影といい、g_0=P_G(f)と表す。

有界線形作用素の空間

有界線形写像の完備性に関する定理

E,Fノルム空間であるとする。Fが完備、つまりバナッハ空間である場合EからFへの有界線形写像BL(E,F)も同様にバナッハ空間である。

証明

A_nBL(E,F)の中のコーシー列であるとする。A_nA\in BL(E,F)に収束することを示せばよい。

ここではまず、Aの候補として任意のf\in Eが点収束する先を選び、その後にそれがA_nの極限なのかを調べる。

任意のf\in Eに対して

||A_n(f)-A_m(f)||_F=||(A_n-A_m)(f)||_F\le||A_n-A_m||\cdot||f||_E

が成り立つ。A_n-A_mがコーシー列であったから、n,mを大きくすれば、右辺は好きなだけ小さくできる。よってA_n(f)\in FFの中のコーシー列である。Fがバナッハ空間であり、完備であるから、極限A(f)が存在して

A(f)=\lim_{n\rightarrow\infty} A_n(f)

となる。よって

\forall \epsilon>0\quad \exist N\quad st\quad ||A(f)-A_n(f)||_F\le\epsilon||f||_E\quad for\quad n>N

が成り立つ。この場合ノルムの定義から

||A-A_n||\le \epsilon

が成り立つ。これはAA_nに収束することを意味している。□

ノイマン級数

Eをバナッハ空間として、有界線形作用素A:E\rightarrow E||A||<1を満たすとき、Id-Aは可逆で

(Id-A)^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty} A^i

となる。

完全連続作用素

有限次元作用素(finite dimentional operator)
Hをヒルベルト空間とする。作用素A\in BL(H,H)は閾値\cal{R}(A)Hの有限次元部分空間である場合、有限次元作用素という。
完全連続作用素(compact operator)
全ての有限次元作用素の集合を\cal{F}と書いた時に、ある有界線形作用素A\in BL(H,H)\cal{F}の閉包\bar{\cal{F}}に入っていれば、完全連続作用素という

有限次元作用素は完全連続作用素

\cal{F}\in \bar{\cal{F}}より、全ての有限次元作用素は、完全連続作用素である。

特にHが有限次元空間である場合は、有界線形作用素と完全連続作用素であることは同値である。

完全連続作用素は有限次元作用素の極限

定義からA:H\rightarrow Hはある有限次元作用素A_nが存在して、

A=\lim_{n\rightarrow\infty} A_n

となるとき、完全連続作用素となる。

完全連続作用素の別の定義

完全連続作用素は弱収束列を強収束列に写す線形写像という定義の仕方もある。つまり

\forall y\in H\quad (A x_n,y)\rightarrow (Ax,y)

ならば

||A x_n-A x|| \rightarrow 0

部分列の収束に関する定理

Hがヒルベルト空間であるとし、A:H\rightarrow Hが有界完全連続作用素であるとする。また、任意の点列f_n\in H||f_n||=1を満たすとする。このとき列A f_nは収束する部分列を含んでいる。

証明

Aが有界完全連続作用素なので、ある有界有限次元作用素の列A_nを使って、

\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=A

とできる。さて、ここでA_1について考えよう。A_1が有界有限次元作用素である。

さて、f\in H\quad,||f||=1A_1による像をB_1とおく。A_1は有界で有限次元作用素であったので、B_1は有界で有限次元である。列A_1 f_n\in B_1である。B_1が有界で有限次元であることから、Bolzano-Weirstrausの定理を用いると、A_1 f_nから収束する部分列を取り出すことができる。これをf^1_nとおく。また、A_1 f^1_ng_1\in\bar{B_1}に収束するとする。

同様にしてA_2について、列f^1_nの中から、部分列f^2_nを選び、列A_2f^2_ng_2\in\bar{B_2}に収束できるようにできる。この処理を無限に繰り返す。つまり列f^{k+1}_nは列f^k_nの部分列でg_{k+1}に収束するとする。

さてここでこのような列の列f_k^nに対してk=nの要素に着目する。(対角線論法(diagonal procedure)という)h_n=f^n_nとおく。||f_n||=1であったから、当然||h_n||=1を満たす。

h_nが題意の部分列であることを示そう。それにはA h_nがCauchy列であることを示せばよい。

||A h_n-A h_m||=||A h_n-A_k h_n+A_k h_n-A_k h_m+A_k h_m-A h_m||\\\qquad\qquad\le||(A-A_k) h_n||+||A_k( h_n-h_m)||+||(A-A_k) h_m||\\\qquad\qquad\le2||A-A_k||+||A_k(f^n_n-f^m_m)||\\\qquad\qquad=2||A-A_k||+||A_k(f^k_{n_k}-f^k_{m_k})||\\\qquad\qquad\le2||A-A_k||+||A_kf^k_{n_k}-g_k||+||A_kf^k_{m_k}-g_k||

但しn_kは要素f^n_nの列f^kの中の位置。明らかに、n,mを大きくすれば、右辺は幾らでも小さくできる。したがってA h_nはCauchy列であり、Hの完備性より収束する。よって題意は示された□

共役空間

共役空間
ノルム空間Nの有界線形汎関数全体をN^*と表し、Nの共役空間と呼ぶ

共役空間の完備性

ノルム空間Nの共役空間N^*は完備である。すなわちバナッハ空間である。

回帰的(reflexive)
ノルム空間NN^{**}と一致するとき、回帰的(reflexive)であるという。つまり、任意のx^{**}\in X^{**}に関して
   x^{**}(x^*)=x^*(x)
となるようなx\in Xが存在する。また、N^{**}は完備であったから、回帰的なノルム空間は必ず完備である。

線形関数の解は閉超平面

Eをノルム空間とする。また、\psi\in E^*\psi\ne 0とする。このとき、あるc\in \cal{R}に対して、集合M

M=\{f\in E|\psi(f)=c\}

Eの中の閉超平面である。

証明

g_0\in E\psi(g_0)\ne 0で、スケーリングによって\psi(g_0)=1を満たすとする。

G_2=\{g_0\}であるとする。つまりG_2g_0の線形倍からなる部分空間

まずE=\cal{N}(\psi)\oplus G_2であることを示す。

任意のf\in Eについて、\alpha=\psi(f)であるとすると、

f=(f-\alpha g_0)+\alpha g_0

のようにかける。\psi(f-\alpha g_0)=0からf-\alpha g_0\in \cal{N}(\psi)である。また明らかに\alpha g_0\in G_2である。

f\in\cal{N}(\psi)\cap G_2であるとすると、f\in G_2よりf=\beta g_0と書ける。

g_0の定義から\psi(\beta g_0)=\betaである。しかしながら\beta f\in\cal{N}(\psi)より\psi(\beta g_0)=0よって、\beta=0である。

つまり、f\in\cal{N}(\psi)\cap G_2\rightarrow f=0

これは\cal{N}(\psi)\cap G_2=\{0\}を意味している。

それに加えて\cal{N}(\psi)G_2はともに閉空間である。

以上から、E=\cal{N}(\psi)\oplus G_2であることが示された。

G_2は1次元であったために、明らかにM=\cal{N}(\psi)+c g_0と書ける。□

Rieszの表現定理

Hがヒルベルト空間であるとし、ある関数\psi:H\rightarrow \cal{R}が有界線形関数であるとする。

このとき、あるg\in Hが存在して

\psi(f)=(f,g)

となる。さらに||\psi||=||g||となる。

証明

\psi=0のときはg=0とすればよい。ここからは\psi\ne 0について考える。

まず、g\in \cal{N}(\psi)^{\bot}であることを示す。

g\notin \cal{N}(\psi)^{\bot}であるとすると、f\in \cal{N}(\psi)(g,f)\ne 0となるfが存在する(fg\cal{N}(\psi)への射影ととった場合)。これは(f,g)=0\quad\forall f\in \cal{N}(\psi)に反する。よってg\in \cal{N}(\psi)^{\bot}

\psiのカーネル\cal{N}(\psi)は閉空間であるから、

H=\cal{N}(\psi)\oplus\cal{N}(\psi)^{\bot}

と直和分解される。上の定理より\cal{N}(\psi)^{\bot}空間は1次元であった。ここでg_1\cal{N}(\psi)^{\bot}の任意の||g_1||=1を満たす基底であるとする。ここで\psi(g_1)=\alphaであるとする。

g\in\cal{N}(\psi)^{\bot}であったから、g=\lambda g_1と表される。さて、g

(g,g)=\psi(g)

を満たさなくてはならない。つまり、

\lambda^2=\alpha\lambda

ここでg\ne 0より\lambda\ne 0よって\alpha=\lambdaが成り立つ。以上からg=\alpha g_1

gが一意に定まることが分かる。

さて、必要条件は揃ったので、このgを用いて十分題意が満たされるのかを確かめてみよう。

Hは直和分解されていたから

f=f_1+\lambda g\qquad f_1\in \cal{N}(\psi)

と表される。

\psi(f)=\psi(f_1+\lambda g)=\psi(f_1)+\alpha\psi(g)=\alpha^2\psi(g_1)=\alpha^3

(f,g)=(f_1+\lambda g,g)=(f_1,g)+\alpha(g,g)=\alpha^3||g_1||^2=\alpha^3

よって\psi(f)=(f,g)

が成り立つ。以上から題意は示された□

l^p空間の共役空間

1<p<\inftyとすると、l^pの共役空間はl^qである。但し\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1

明らかにl^p空間は回帰的である。

L^p空間の共役空間

1<p<\inftyとすると、L^pの共役空間はL^qである。但し\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1

明らかにL^p空間は回帰的である。

共役作用素

共役作用素
Hをヒルベルト空間、作用素A:H\rightarrow Hが有界であるとする。つまり、A\in BL(H,H)
Aの共役作用素A^*
   (Af,g)=(f,A^* g)
をみたすA^*:H\rightarrow Hの写像である。
自己共役作用素
Hをヒルベルト空間、作用素A:H\rightarrow Hが有界であるとする。つまり、A\in BL(H,H)
   A^*=A
を満たすときAは自己共役作用素と呼ばれる。

自己共役作用素のノルム

Hをヒルベルト空間とし、有界作用素A:H\rightarrow Hが自己共役なら

||A||=\sup_{||f||=1}|(Af,f)|

が成り立つ。

核と共役作用素の値域による直和分解

Hをヒルベルト空間とし、有界線形作用素A:H\rightarrow Hとすると、

H=\cal{N}(A)\oplus \cal{R}(A^*)

のように直和分解される。

証明

g\in \cal{R}(A^*)であるとする。つまり、あるf\in Hが存在してg=A^* fとなる。

また、h\in \cal{N}(A)とすると、Ah=0より、

(h,g)=(h,A^*f)=(Ah,f)=0

となる。h,gは任意であったから\cal{R}(A^*)\cal{N}(A)の直交補空間つまり

\cal{R}(A^*)=\cal{N}(A)^{\bot}

である。有界線形作用素の核空間は閉部分空間であり、閉じた部分空間とその直交補空間を用いて空間を直和分解できる。よって

H=\cal{N}(A)\oplus \cal{R}(A^*)

が示された□

参考にしたもの

Wikipedia

距離空間ノルム線形写像直和零空間作用素ヒルベルト空間完備バナッハ空間

Link

Online Mathematics Texts -オンライン数学テキスト-
http://homepage2.nifty.com/masema/index.html
解析についてのwebノート
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm
線形作用素
http://forum.shimozono.net/room1/package/hilbert-space3.htm
有界線形汎関数
http://www.fbc.keio.ac.jp/~hkomiya/education/lecture/normed-space-2005-3.pdf
線形代数
http://schubert.cs.shinshu-u.ac.jp/~miyao/UD/Subjects/Linear/index.html

Book

ヒルベルト空間論 (数理物理学方法序説) 保江邦夫 著


Made by Nobuyuki UMETANI  梅谷 信行
n.umetani@gmail.com