MITC Element

MITCシェル要素の有限要素法解析

Last Update:2009年05月15日

概要

MITC(Mixed Interpolation of Tensolial Components)要素とは，Degenerateシェル要素にAssumed Strainと呼ばれる面外剪断歪の補間を入れることで，シェアロッキングを回避して，薄肉も扱えるようにしたシェル要素である．

ここではMITCを提案した論文[1]に基づいて節点のMITC要素の定式化について説明する．

Degenerateシェル要素の定式化

Degenerate要素とは，Solid要素を一方向に圧縮したような要素である．要素内部で変位や歪が応力などがSolid要素と同じように定義できるために，いろいろな構成式を扱うことができる．ここでMITC要素の前段階としてDegenerate要素を用いたシェル要素の定式化を行う．

補間

面内の補間関数は次のように定義される．

$\{\begin{array}{l}N^1=\frac{1}{4}(1-r^1)(1-r^2)\\ N^2=\frac{1}{4}(1+r^1)(1-r^2)\\ N^3=\frac{1}{4}(1+r^1)(1+r^2)\\ N^4=\frac{1}{4}(1-r^1)(1+r^2)\end{array}$

ｔは板の厚みを表しているとすると，次のように板の中の節点の変形前の位置 $\b{X}$ と変形後の位置 $\b{x}$ は補間される．

$\b{X}(r^1,r^2,r^3)=N^p(r^1,r^2)\b{X}^p+\frac{t}{2}r^3N^p(r^1,r^2)\b{V}^p_3$

$\b{x}(r^1,r^2,r^3)=N^p(r^1,r^2)\b{x}^p+\frac{t}{2}r^3N^p(r^1,r^2)\b{v}^p_3$

共変基底ベクトル

変形前と変形後の共変基底ベクトル $\b{G},\b{g}$ はそれぞれ

$\b{G}_h=\frac{\partial \b{X}}{\partial r^h}$

$\b{g}_h=\frac{\partial \b{x}}{\partial r^h}$

のように表される．実際にこれを計算してみよう．

$\{\begin{array}{l}\b{G}_1 = \frac{\partial\b{X}}{\partial r^1} = \frac{\partial N^p(r^1,r^2)}{\partial r^1}\b{X}^p+\frac{t}{2}r^3\frac{\partial N^p(r^1,r^2)}{\partial r^1}\b{V}^p_3\\ \b{G}_2 = \frac{\partial\b{X}}{\partial r^2} = \frac{\partial N^p(r^1,r^2)}{\partial r^2}\b{X}^p+\frac{t}{2}r^3\frac{\partial N^p(r^1,r^2)}{\partial r^2}\b{V}^p_3\\ \b{G}_3 = \frac{\partial\b{X}}{\partial r^3} = \frac{t}{2}N^p(r^1,r^2)\b{V}^p_3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\b{g}_1 = \frac{\partial\b{x}}{\partial r^1} = \frac{\partial N^p(r^1,r^2)}{\partial r^1}\b{x}^p+\frac{t}{2}r^3\frac{\partial N^p(r^1,r^2)}{\partial r^1}\b{v}^p_3\\ \b{g}_2 = \frac{\partial\b{x}}{\partial r^2} = \frac{\partial N^p(r^1,r^2)}{\partial r^2}\b{x}^p+\frac{t}{2}r^3\frac{\partial N^p(r^1,r^2)}{\partial r^2}\b{v}^p_3\\ \b{g}_3 = \frac{\partial\b{x}}{\partial r^3} = \frac{t}{2}N^p(r^1,r^2)\b{v}^p_3\end{array}$

歪み

Green-Lagrange歪みは次のとおり

$\b{E} = \b{E}_{ij}\b{G}^i\otimes\b{G}^j = \frac{1}{2}(g_{ij}-G_{ij})\b{G}^i\otimes\b{G}^j = \frac{1}{2}(\b{g}_i\cdot\b{g}_j-\b{G}_i\cdot\b{G}_j)\b{G}^i\otimes\b{G}^j$

応力

超弾性体

物質が超弾性体である場合は次のように第２Piola-Kirchhoff応力はGreen-Lagrange歪みから求められる．

$\b{S}=\frac{\partial W}{\partial \b{E}}$

St.Venant-Kirchhoff体

物質がSt.Venant-Kirchhoff体である場合は次のように第２Piola-Kirchhoff応力はGreen-Lagrange歪みから求められる．

$S = \lambda \tr(\b{E}) I + 2\mu E$

$\tr(\b{E}) = \tr(E_i^jG^i\otimes G_j) = E_i^jG^i\cdot G_j = E_i^j \delta^i_j = E^i_i\\\;\;\;\; = G^p\cdot (E_{ij}G^i\otimes G^j)\cdot G_k = E_{ij}(G^i\cdot G^p)(G^p\cdot G_j) = E_{ij}G^{ik}\delta^p_j\\\;\;\; = E_{ij}G^{ij}$

これを用いると第二Piola-Kirchhoff応力の反変成分は次のとおり

$S^{gh} = G^g\cdot S\cdot G^h\\\;\; = \lambda \tr(\b{E}) G^g\cdot G^h + 2\mu G^g\cdot \b{E}\cdot G^h\\\;\; = \lambda (E_{ij}G^{ij}) G^{gh} + 2\mu G^g\cdot (E_{ij}G^i\otimes G^j)\cdot G^h\\\;\; = \lambda (E_{ij}G^{ij}) G^{gh} + 2\mu(E_{ij}G^{ig}G^{jh})$

変位

$\b{u} = N^p(r^1,r^2)\b{u}^p+\frac{t}{2}r^3N^p(r^1,r^2)(\b{v}^p_3-\b{V}^p_3)$

さて、変位が $\b{u}$ から $\b{u}'$ に変化したときの増分 $\Delta \b{u}= \b{u}' - \b{u}$ について考えよう．

$\Delta\b{u} = \b{u}' - \b{u} = N^p(r^1,r^2)(\b{u}^p'-\b{u}^p)+\frac{t}{2}r^3N^p(r^1,r^2)(\b{v}^p_3'-\b{v}^p_3)$

$\b{v}^p_3'$ は変形した後のディレクターのベクトルである．軸性ベクトル $\b{\theta}^p$ を導入すると、

$\b{v}^p_3' = \cos|\b{\theta}^p|(\b{v}^p_3) + \sin|\b{\theta}^p|(\frac{\b{\theta}^p}{|\b{\theta}^p|}\times\b{v}^p_3)$

となる．これを代入すると、

$\Delta\b{u} = N^p(r^1,r^2)\Delta\b{u}^p + \frac{t}{2}r^3N^p(r^1,r^2)\{(\cos|\b{\theta}^p|-1)(\b{v}^p_3) + \frac{\sin|\b{\theta}^p|}{|\b{\theta}^p|}(\b{\theta}^p \times\b{v}^p_3)\}$

となる．ここで節点変位 $\b{u}^p$ が初期状態からの変位であるのに対して $\b{\theta}$ が変形した後の状態からの増分であることに注意されたい．よって，興味があるのは $\b{\theta}=0$ 付近での変位の挙動である． $\sin\theta,\cos\theta$ の $\theta=0$ 周りのテーラー展開を用いて

$\sin\theta=\theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5\cdots,\;\;\;\;\;\;\frac{\sin\theta}{\theta}=1-\frac{1}{3!}\theta^2+\frac{1}{5!}\theta^4\cdots\\\cos\theta=1-\frac{1}{2!}\theta^2+\frac{1}{4!}\theta^4\cdots$

となる．これらを用いて $\theta$ に対して次数ごとに書き出すと

$\Delta\b{u} = N^p(r^1,r^2)\Delta\b{u}^p + \frac{t}{2}r^3N^p(r^1,r^2)\{ \underbrace{\b{\theta}^p\times\b{v}^p_3}_{1st} + \underbrace{(-\frac{1}{2}|\b{\theta}^p|^2)(\b{v}^p_3)}_{2nd} + \underbrace{\frac{1}{6}|\b{\theta}^p|^2(\b{\theta}^p \times\b{v}^p_3)}_{3rd} + \;\mathcal{O}(\theta^4)\}$

のようになる．ここでの $\times$ は外積で，成分表示すると以下のようになる．

$\b{\theta}^p \times \b{v}^p_3 = \[\begin{array}{lll}0 & v^p_3_3 & -v^p_3_2 \\ -v^p_3_3 & 0 & v^p_3_1 \\ v^p_3_2 & -v^p_3_1 & 0 \end{array}\]\{\begin{array}\theta^p_1\\\theta^p_2\\\theta^p_3\end{array}\} = \epsilon_{ijk}\theta^p_i {v^p_3}_j \b{e}_k$

ここで， $\epsilon$ はレヴィ・チヴィタの記号である．

共変基底ベクトルの節点値による微分

となる．これらを用いて、歪みや接線剛性行列を計算する．歪みを求める時は変位の１回微分、接線剛性行列を求める時は変位の２回微分が必要となる．

$\b{g}_h = \frac{\partial \b{x}}{\partial r^h} = \frac{\partial (\b{X}+\b{u})}{\partial r^h} = \frac{\partial\b{u}}{\partial r^h}$

共変基底ベクトルの１回微分

$\frac{\partial \b{g}_h}{\partial u^p_i} = \frac{\partial}{\partial u^p_i}\frac{\partial\b{u}}{\partial r^h} = \frac{\partial}{\partial r^h}\frac{\partial\b{u}}{\partial u^p_i} = \frac{\partial N^p(r^1,r^2)}{\partial r^h}\b{e}_i$

$\frac{\partial \b{g}_h(\theta)}{\partial\theta^p_i} = \frac{\partial}{\partial \theta^p_i}\frac{\partial\b{u}}{\partial r^h} = \frac{\partial}{\partial r^h}\frac{\partial\b{u}}{\partial\theta^p_i} = \frac{t}{2}\frac{\partial r^3N^p(r^1,r^2)}{\partial r^h}$\epsilon_{ijk} {v^p_3}_j\b{e}_k-\theta^p_i(\b{v}^p_3)+\;\mathcal{O}(\theta^2)\; $$

共変基底ベクトルの２回微分

$\frac{\partial^2 \b{g}_h}{\partial u^q_j\partial u^p_i} = 0$

$\frac{\partial^2 \b{g}_h}{\partial \theta^q_j\partial u^p_i} = \frac{\partial^2 \b{g}_h}{\partial u^q_j\partial \theta^p_i} = 0$

$\frac{\partial^2 \b{g}_h(\theta)}{\partial\theta^q_j\partial\theta^p_i} = \frac{\partial}{\partial \theta^q_j}$\frac{\partial \b{g}_h(\theta)}{\partial\theta^p_i}$ = \frac{\partial}{\partial \theta^q_j}\{ \frac{t}{2}\frac{\partial r^3N^p(r^1,r^2)}{\partial r^h}$\epsilon_{ijk} {v^p_3}_j\b{e}_k-\theta^p_i(\b{v}^p_3)+\;\mathcal{O}(\theta^2)\; $\}\\\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{t}{2}\frac{\partial r^3N^p(r^1,r^2)}{\partial r^h}$-\delta_{pq}\delta_{ij}\b{v}^p_3\;+\mathcal{O}(\theta)\;$$

θ=0周りでの共変基底ベクトルの展開

$\frac{\partial \b{g}_h(0)}{\partial\theta^p_i} = \frac{t}{2}\frac{\partial r^3N^p(r^1,r^2)}{\partial r^h}\epsilon_{ijk} {v^p_3}_j\b{e}_k$

$\frac{\partial^2 \b{g}_h(0)}{\partial\theta^q_j\partial\theta^p_i}= -\frac{t}{2}\frac{\partial r^3N^p(r^1,r^2)}{\partial r^h}\b{v}^p_3\delta_{pq}\delta_{ij}$

$\b{g}_h$ に対する角度による２階微分を考慮することで，角度の変化が大きい時に有効である．この項は特に有限回転増分項と呼ばれる．有限回転増分のMITCへの取り込みは論文[2]によってなされている．

以降， $\frac{\partial \b{g}_h(0)}{\partial\theta^p_i},\;\;\frac{\partial^2 \b{g}_h(0)}{\partial\theta^q_j\partial\theta^p_i}$ を簡単のため， $\frac{\partial \b{g}_h}{\partial\theta^p_i},\;\;\frac{\partial^2 \b{g}_h}{\partial\theta^q_j\partial\theta^p_i}$ と書く．

これらを用いると，共変基底ベクトル $\b{g}_h$ の２次までの節点値の変化による変動は以下のとおり．

$\Delta\b{g}_h = \frac{\partial \b{g}_h}{\partial u^p_i}\Delta u^p_i + \frac{\partial \b{g}_h}{\partial\theta^p_i}\theta^p_i + \frac{\partial^2 \b{g}_h}{\partial\theta^q_j\partial\theta^p_i}\theta^p_i\theta^q_j + \mathcal{O}(\theta^3)+\mathcal{O}(u^3)$

歪みと応力と関係付ける行列

非対称な仮想歪

非対称な仮想歪テンソル

$\delta\bar{E}_{gh}=\b{g}_g\cdot\delta\b{g}_h$

とおこう．このテンソルの対称部分は仮想Green-Lagrange歪になる．

$\delta E_{gh}=\frac{1}{2}(\b{g}_g\cdot\delta\b{g}_h+\delta\b{g}_g\cdot\b{g}_h)=\frac{1}{2}(\delta\bar{E}_{gh}+\delta\bar{E}_{hg})=Sym(\delta\bar{E}_{gh})$

よって仮想Green-Lagrange歪と対称なテンソルとの内積はこの非対称な仮想歪テンソルとの内積に置き換えることができる．

$S^{gh}\delta E_{gh} = S^{gh}\frac{1}{2}(\delta\bar{E}_{gh}+\delta\bar{E}_{hg}) = \frac{1}{2}S^{gh}\delta\bar{E}_{gh}+\frac{1}{2}S^{hg}\delta\bar{E}_{hg}= S^{gh}\delta \bar{E}_{gh}$

非対称の仮想歪テンソルは項の数が半分に減っていて扱いやすいというメリットがある．

節点の変位や回転と歪を関係づける行列

$\delta \b{g}_h = \frac{\partial \b{g}_h}{\partial u^p_i}\delta u^p_i + \frac{\partial \b{g}_h}{\partial \theta^p_i}\delta\theta^p_i$

$\delta\bar{E}_{gh} = \b{g}_g\cdot\delta\b{g}_h = \b{g}_g\cdot\frac{\partial \b{g}_h}{\partial u^p_i}\delta u^p_i + \b{g}_g\cdot\frac{\partial \b{g}_h}{\partial \theta^p_i}\delta\theta^p_i\\\;\;\;\;\;\; = [B_{gh}^U]^p_i\delta u^p_i+[B_{gh}^R]^p_i\delta \theta^p_i$

ここで

$[B_{gh}^U]^p_i = \b{g}_g\cdot\frac{\partial \b{g}_h}{\partial u^p_i} = {\b{g}_g}_i\;\frac{\partial N^p(r^1,r^2)}{\partial r^h}$

$[B_{gh}^R]^p_i = \b{g}_g\cdot\frac{\partial \b{g}_h}{\partial\theta^p_i} = {\b{g}_g}_k\;\frac{t}{2}\frac{\partial r^3N^p(r^1,r^2)}{\partial r^h}\epsilon_{ijk} {v^p_3}_j$

とおいた．またこの [B] を用いれば，

$\frac{\partial E_{gh}}{\partial u^p_i} = \frac{1}{2}([B_{gh}^U]^p_i+[B_{hg}^U]^p_i)$

$\frac{\partial E_{gh}}{\partial u^p_i} = \frac{1}{2}([B_{gh}^R]^p_i+[B_{hg}^R]^p_i)$

を満たすことが容易に確認できる．

内力ベクトル

内力は以下のとおりになる．

$\{Q^U_e\}^p_i = \int_{V_e}S^{gh}\frac{\partial E_{gh}}{\partial u^p_i}dV = \int_{V_e}S^{gh}\frac{1}{2}([B_{gh}^U]^p_i+[B_{hg}^U]^p_i)dV\\\;\;\;\;\;\; = \int_{V_e}S^{gh}[B_{gh}^U]^p_idV = \int^{1}_{-1}\int^{1}_{-1}\int^{1}_{-1}S^{gh}[B_{gh}^U]^p_i J dr^3dr^2dr^1$

$\{Q^R_e\}^p_i = \int_{V_e}S^{gh}\frac{\partial E_{gh}}{\partial\theta^p_i}dV = \int_{V_e}S^{gh}\frac{1}{2}([B_{gh}^U]^p_i+[B_{hg}^U]^p_i)dV \\\;\;\;\;\;\; = \int_{V_e}S^{gh}[B_{gh}^R]^p_idV = \int^{1}_{-1}\int^{1}_{-1}\int^{1}_{-1}S^{gh}[B_{gh}^R]^p_iJ dr^3dr^2dr^1$

接線剛性行列

応力の節点値による微分

$\delta S^{gh}=C^{ghef}\delta E_{ef}$

の関係があるとする．

$\frac{\partial S^{gh}}{\partial u^q_j} = C^{ghef}\frac{\partial E_{ef}}{\partial u^q_j} = C^{ghef}\frac{1}{2}([B^U_{ef}]^q_j+[B^U_{fe}]^q_j) = \bar{C}^{ghef}[B^U_{ef}]^q_j$

$\frac{\partial S^{gh}}{\partial\theta^q_j} = C^{ghef}\frac{\partial E_{ef}}{\partial\theta^q_j} = C^{ghef}\frac{1}{2}([B^R_{ef}]^q_j+[B^R_{fe}]^q_j) = \bar{C}^{ghef}[B^R_{ef}]^q_j$

但し，

$\bar{C}^{ghef}=\frac{1}{2}(C^{ghef}+C^{ghfe})$

とおいた．

節点の変位や回転と歪の微分を関係づける行列

[B] は節点の変位や回転と歪を関係づける行列であった．接線剛性行列を計算するために，この [B] をさらに節点値で微分することで，歪の微分を節点値から求める行列 [A] を作ろう．

$[A^{UU}_{hg}]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial [B^U_{gh}]^p_i}{\partial u^q_j} = \frac{\partial}{\partial u^q_j}$\b{g}_g\cdot\frac{\partial \b{g}_h}{\partial u^p_i}$ = \frac{\partial \b{g}_g}{\partial u^q_j}\frac{\partial \b{g}_h}{\partial u^p_i}$

$[A^{UR}_{hg}]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial [B^U_{gh}]^p_i}{\partial\theta^q_j} = \frac{\partial}{\partial\theta^q_j}$\b{g}_g\cdot\frac{\partial \b{g}_h}{\partial u^p_i}$ = \frac{\partial \b{g}_h}{\partial u^p_i}\frac{\partial \b{g}_g}{\partial\theta^q_j}$

$[A^{RU}_{hg}]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial [B^R_{gh}]^p_i}{\partial u^q_j} = \frac{\partial}{\partial u^q_j}$\b{g}_g\cdot\frac{\partial \b{g}_h}{\partial\theta^p_i}$ = \frac{\partial \b{g}_g}{\partial u^q_j}\frac{\partial \b{g}_h}{\partial\theta^p_i} = [A^{UR}_{hg}]^{q,p}_{j,i}$

$[A^{RR}_{hg}]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial [B^R_{gh}]^p_i}{\partial\theta^q_j} = \frac{\partial}{\partial\theta^q_j}$\b{g}_g\cdot\frac{\partial \b{g}_h}{\partial\theta^p_i}$ = \frac{\partial \b{g}_g}{\partial\theta^q_j}\frac{\partial \b{g}_h}{\partial\theta^p_i} + \b{g}_g\cdot\frac{\partial^2 \b{g}_h}{\partial\theta^q_j\partial\theta^p_i}$

接線剛性行列

接線剛性を計算すると以下のとおり

$[K^{UU}_e]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial \{Q^U_e\}^p_i}{\partial u^q_j} = \int_{V_e}S^{gh}\frac{\partial [B^U_{gh}]^p_i}{\partial u^q_j} + \frac{\partial S^{gh} }{\partial u^q_j} [B^U_{gh}]^p_idV\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{V_e}S^{gh}[A^{UU}_{hg}]^{p,q}_{i,j} + \bar{C}^{ghef}[B^U_{ef}]^q_j[B^U_{gh}]^p_idV$

$[K^{UR}_e]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial \{Q^U_e\}^p_i}{\partial\theta^q_j} = \int_{V_e}S^{gh}\frac{\partial [B^U_{gh}]^p_i}{\partial\theta^q_j} + \frac{\partial S^{gh} }{\partial\theta^q_j} [B^U_{gh}]^p_idV\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =\int_{V_e}S^{gh}[A^{UR}_{hg}]^{p,q}_{i,j} + \bar{C}^{ghef}[B^R_{ef}]^q_j[B^U_{gh}]^p_idV$

$[K^{RU}_e]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial \{Q^R_e\}^p_i}{\partial u^q_j} = \int_{V_e}S^{gh}\frac{\partial [B^R_{gh}]^p_i}{\partial u^q_j} + \frac{\partial S^{gh} }{\partial u^q_j} [B^R_{gh}]^p_idV\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{V_e}S^{gh}[A^{RU}_{hg}]^{p,q}_{i,j} + \bar{C}^{ghef}[B^U_{ef}]^q_j[B^R_{gh}]^p_idV\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = [K^{UR}]^{q,p}_{j,i}$

$[K^{RR}_e]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial \{Q^R_e\}^p_i}{\partial\theta^q_j} = \int_{V_e}S^{gh}\frac{\partial [B^R_{gh}]^p_i}{\partial\theta^q_j} + \frac{\partial S^{gh} }{\partial\theta^q_j} [B^R_{gh}]^p_idV\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{V_e}S^{gh}[A^{RR}_{hg}]^{p,q}_{i,j} + \bar{C}^{ghef}[B^R_{ef}]^q_j[B^R_{gh}]^p_idV$

MITC要素の定式化

Degenerateシェルは板圧が薄くなるとロッキングが起こってしまうために，実際より硬い解を得てしまうことが知られている．これは面外剪断歪が原因であることが知られている．そこで，面外剪断歪については以下の４点における値を用いた補間によって求める．

ここで，要素内部の点を次のように一般化座標で表すと，

$\b{x}(r^1,r^2,r^3)$

歪を補間する時に使う点は以下のとおり，

$\{\begin{array}\b{x}_A=\b{x}(\;0,\;1,\;0)\\ \b{x}_B=\b{x}(-1,\;0,\;0)\\ \b{x}_C=\b{x}(\;0,-1,\;0)\\ \b{x}_D=\b{x}(\;1,\;0,\;0)\end{array}$

Assumed Strainを考慮した歪

面外剪断歪みについてAssumed Strainを考える．Assumed Stainでは歪みの共変成分について再補間を行う．

$\hat{E}_{11}=E_{11}\;\; \hat{E}_{22}=E_{22}\;\; \hat{E}_{33}=E_{33}\\ \hat{E}_{12}=\hat{E}_{21}=E_{12}\\ \hat{E}_{13} = \hat{E}_{31} = \frac{1}{2}(1+r^2)E_{13}_A + \frac{1}{2}(1-r^2)E_{13}_C\\ \hat{E}_{23} = \hat{E}_{32} = \frac{1}{2}(1+r^1)E_{23}_D + \frac{1}{2}(1-r^1)E_{23}_B$

これらを用いるとAssumed Strainを考慮したGreen-Lagrange歪みは次のようになる

$\hat{\b{E}} = \hat{E}_{ij}G^i\otimes G^j\\\;\; = E_{11}G^1\otimes G^1 + E_{22}G^2\otimes G^2 + E_{33}G^3\otimes G^3 + E_{12}(G^1\otimes G^2 + G^2\otimes G^1)\\\;\;\;\;\; + \hat{E}_{13}(G^1\otimes G^3 + G^3\otimes G^1) + \hat{E}_{23}(G^2\otimes G^3 + G^3\otimes G^2)$

応力

Assumed Strainを考慮した歪から応力を求める．

超弾性体

$\hat{\b{S}}=\frac{\partial W}{\partial \hat{E}}$

St.Venant-Kirchhoff体

$\hat{S}^{gh} = \lambda (\hat{E}_{ij}G^{ij}) G^{gh} + 2\mu(\hat{E}_{ij}G^{ig}G^{jh})$

仮想歪みと内力

非対称な仮想歪みについても、Assumed Strainを考慮したテンソル $\delta\hat{\bar{E}}$ を考えよう．このテンソルの共変成分は次のようになる．

$\delta\hat{\bar{E}}_{gh}=\{\;\begin{array}{ll}\delta\bar{E}_{gh} & \;\;\{gh\}=\{11\},\{22\},\{33\},\{12\},\{21\}\\\;\;\\ \frac{1}{2}(1+r^2)\delta\bar{E}_{gh}_A + \frac{1}{2}(1-r^2)\delta\bar{E}_{gh}_C & \;\;\{gh\}=\{13\},\{31\}\\\;\;\\ \frac{1}{2}(1+r^1)\delta\bar{E}_{gh}_D + \frac{1}{2}(1-r^1)\delta\bar{E}_{gh}_B & \;\;\{gh\}=\{23\},\{32\}\end{array}$

ここで、変位や回転と歪みを結びつける行列 [B] を用いると、

$\delta\bar{E}_{gh}=[B_{gh}^U]^p_i\delta u^p_i+[B_{gh}^R]^p_i\delta\theta^p_i$

のように書けた．

$[\hat{B}]$ を次のように定義すると、

$[\hat{B}_{gh}]^p_i=\{\;\begin{array}{ll}[B_{gh}]^p_i & \;\;\{gh\}=\{11\},\{22\},\{33\},\{12\},\{21\}\\\;\;\\ \frac{1}{2}(1+r^2){[B_{gh}]^p_i}_A + \frac{1}{2}(1-r^2){[B_{gh}]^p_i}_C & \;\;\{gh\}=\{13\},\{31\}\\\;\;\\ \frac{1}{2}(1+r^1){[B_{gh}]^p_i}_D + \frac{1}{2}(1-r^1){[B_{gh}]^p_i}_B & \;\;\{gh\}=\{23\},\{32\}\end{array}$

これを用いるとAssumed Strainを考慮した仮想歪みは

$\delta\hat{\bar{E}}_{gh}=[\hat{B}_{gh}^U]^p_i\delta u^p_i+[\hat{B}_{gh}^R]^p_i\delta\theta^p_i$

のように一貫して書くことができる．

内力

AssumedStainを考慮した歪を使うと，内力は次のようになる．

$\{Q^U_e\}^p_i = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}\frac{\partial\hat{E}_{gh}}{\partial u^p_i}dV = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}\frac{\partial\hat{\bar{E}}_{gh}}{\partial u^p_i}dV = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}[\hat{B}_{gh}^U]^p_idV$

$\{Q^R_e\}^p_i = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}\frac{\partial\hat{E}_{gh}}{\partial\theta^p_i}dV = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}\frac{\partial\hat{\bar{E}}_{gh}}{\partial\theta^p_i}dV = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}[\hat{B}_{gh}^R]^p_idV$

接線剛性行列

応力の微分

$\delta\hat{S}^{gh}=C^{ghef}\delta\hat{E}_{ef}$

$\frac{\partial\hat{S}^{gh}}{\partial u^q_j} = C^{ghef}\frac{\partial\hat{E}_{ef}}{\partial u^q_j} = C^{ghef}\frac{1}{2}([\hat{B}^U_{ef}]^q_j+[\hat{B}^U_{fe}]^q_j) = \bar{C}^{ghef}[\hat{B}^U_{ef}]^q_j$

$\frac{\partial\hat{S}^{gh}}{\partial\theta^q_j} = C^{ghef}\frac{\partial\hat{E}_{ef}}{\partial\theta^q_j} = C^{ghef}\frac{1}{2}([\hat{B}^R_{ef}]^q_j+[\hat{B}^R_{fe}]^q_j) = \bar{C}^{ghef}[\hat{B}^R_{ef}]^q_j$

歪の微分

歪を微分したものにもAssumed Strainを考慮しよう．

$[\hat{A}_{gh}]^{p,q}_{i,j}=\{\;\begin{array}{ll}[A_{gh}]^{p,q}_{i,j} & \;\;\{gh\}=\{11\},\{22\},\{33\},\{12\},\{21\}\\\;\;\\ \frac{1}{2}(1+r^2){[A_{gh}]^{p,q}_{i,j}}_A + \frac{1}{2}(1-r^2){[A_{gh}]^{p,q}_{i,j}}_C & \;\;\{gh\}=\{13\},\{31\}\\\;\;\\ \frac{1}{2}(1+r^1){[A_{gh}]^{p,q}_{i,j}}_D + \frac{1}{2}(1-r^1){[A_{gh}]^{p,q}_{i,j}}_B & \;\;\{gh\}=\{23\},\{32\}\end{array}$

とおくと，

$\frac{\partial [\hat{B}^U_{gh}]^p_i}{\partial u^q_j} = [\hat{A}^{UU}_{hg}]^{p,q}_{i,j}\;\;\;\; \frac{\partial [\hat{B}^U_{gh}]^p_i}{\partial\theta^q_j} = [\hat{A}^{UR}_{hg}]^{p,q}_{i,j}\;\;\;\; \frac{\partial [\hat{B}^R_{gh}]^p_i}{\partial u^q_j} = [\hat{A}^{RU}_{hg}]^{p,q}_{i,j}\;\;\;\; \frac{\partial [\hat{B}^R_{gh}]^p_i}{\partial\theta^q_j} = [\hat{A}^{RR}_{hg}]^{p,q}_{i,j}$

接線剛性行列

接線剛性を計算すると以下のとおり

$[K^{UU}_e]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial \{Q^U_e\}^p_i}{\partial u^q_j} = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}\frac{\partial [\hat{B}^U_{gh}]^p_i}{\partial u^q_j} + \frac{\partial\hat{S}^{gh} }{\partial u^q_j} [\hat{B}^U_{gh}]^p_idV\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}[\hat{A}^{UU}_{hg}]^{p,q}_{i,j} + \bar{C}^{ghef}[\hat{B}^U_{ef}]^q_j[\hat{B}^U_{gh}]^p_idV$

$[K^{UR}_e]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial \{Q^U_e\}^p_i}{\partial\theta^q_j} = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}\frac{\partial [\hat{B}^U_{gh}]^p_i}{\partial\theta^q_j} + \frac{\partial\hat{S}^{gh} }{\partial\theta^q_j} [\hat{B}^U_{gh}]^p_idV\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =\int_{V_e}\hat{S}^{gh}[\hat{A}^{UR}_{hg}]^{p,q}_{i,j} + \bar{C}^{ghef}[\hat{B}^R_{ef}]^q_j[\hat{B}^U_{gh}]^p_idV$

$[K^{RU}_e]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial \{Q^R_e\}^p_i}{\partial u^q_j} = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}\frac{\partial [\hat{B}^R_{gh}]^p_i}{\partial u^q_j} + \frac{\partial\hat{S}^{gh} }{\partial u^q_j} [\hat{B}^R_{gh}]^p_idV\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}[\hat{A}^{RU}_{hg}]^{p,q}_{i,j} + \bar{C}^{ghef}[\hat{B}^U_{ef}]^q_j[\hat{B}^R_{gh}]^p_idV\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = [K^{UR}]^{q,p}_{j,i}$

$[K^{RR}_e]^{p,q}_{i,j} = \frac{\partial \{Q^R_e\}^p_i}{\partial\theta^q_j} = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}\frac{\partial [\hat{B}^R_{gh}]^p_i}{\partial\theta^q_j} + \frac{\partial\hat{S}^{gh} }{\partial\theta^q_j} [\hat{B}^R_{gh}]^p_idV\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{V_e}\hat{S}^{gh}[\hat{A}^{RR}_{hg}]^{p,q}_{i,j} + \bar{C}^{ghef}[\hat{B}^R_{ef}]^q_j[\hat{B}^R_{gh}]^p_idV$

参考にしたもの

Books

非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎	久田俊明　著
Nonlinear Theory of Elasticity: Applications in Biomechanics	Taber著

Paper

[1]KJ BATHE, EN DVORKIN, A formulation of general shell elements- The use of mixed interpolation of tensorial components, Engineering Computations, Vol. 1, 1984, pp 77 - 88,: http://www.emeraldinsight.com/Insight/viewContentItem.do?contentType=Article&contentId=1662467

[2]野口,裕久久田,俊明有限回転増分を考慮した効率的シェル要素の開発およびその評価日本機械学會論文集. A編 03875008 社団法人日本機械学会 19920625 58 550 943-950: http://ci.nii.ac.jp/naid/110002371141/

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MITC Element

目次

概要

Degenerateシェル要素の定式化

補間

共変基底ベクトル

歪み

応力

超弾性体

St.Venant-Kirchhoff体

変位

共変基底ベクトルの節点値による微分

共変基底ベクトルの１回微分

共変基底ベクトルの２回微分

θ=0周りでの共変基底ベクトルの展開

歪みと応力と関係付ける行列

非対称な仮想歪

節点の変位や回転と歪を関係づける行列

内力ベクトル

接線剛性行列

応力の節点値による微分

節点の変位や回転と歪の微分を関係づける行列

接線剛性行列

MITC要素の定式化

Assumed Strainを考慮した歪

応力

超弾性体

St.Venant-Kirchhoff体

仮想歪みと内力

内力

接線剛性行列

応力の微分

歪の微分

接線剛性行列

参考にしたもの

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