basis of Sobolev Space

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ソボレフ空間の基礎

Last Update:2008年01月26日

一次元の場合

いきなり多次元の問題にすると、イメージを掴みにくい。とりあえず、１次元の問題について考える。

積分演算子

$f\in L^2[a,b]$ について積分演算子を次のように定義する。

$(Jf)(t)=\int_a^t f(x) dx$

積分演算子は有界

ここで、ルーベルグ積分の定義から、

$\int_a^t f dx=\int_a^b 1_{(a,t)}(x)f(x) dx$

と置けることに注意しよう。

$|Jf(t)|^2=\|\int_a^t f dx\|^2\\\qquad\qquad\qquad = \|\int_a^b 1_{at}(x)f(x) dx\|^2\le \int_a^b |1_{at}(x)|^2dx \int_a^t |f|^2 dx\qquad\qquad(Cauchy-Schwarz)\\\qquad\qquad\qquad=(t-a)||f||^2_{L^2}\le (b-a)||f||^2_{L^2}$

これを用いると、

$||Jf||^2_{L^2}=\int_a^b|Jf(t)|^2 dt\le \int_a^b (b-a)||f||^2_{L^2} dt=(b-a)^2||f||^2_{L^2}$

つまり、

$||Jf||_{L^2}\le (b-a)||f||_{L^2}$

が成り立つ。よって積分演算子は有界□

L^2を積分した関数のHolder連続性

$f\in L^2[a,b]$ として、 $a\le x\le y\le b$ とすると、

$|Jf(y)-Jf(x)|=|\int^y_x f(s) ds|\\\qquad\qquad\le \int^y_x |f(s)| ds\le \{\int^y_x |f(s)|^2 ds\}^{\frac{1}{2}}\{\int^y_x 1^2 ds\}^{\frac{1}{2}}\quad\quad(Cauchy-Schwarz)\\\qquad\qquad=\{\int^b_a |f(s)|^2 ds\}^{\frac{1}{2}}(y-x)^{\frac{1}{2}}\le||f||_{L^2}(y-x)^{\frac{1}{2}}$

よって L^2[a,b] を積分した関数は $\alpha=\frac{1}{2}$ のHolder連続である。

弱微分

L^2 空間は連続関数を ||.||^2 ノルムで完備化したものである。それゆえに一般的に微分可能とは限らない。ここで、微分の概念を一般化した、弱微分を導入する。

$f\in L^2[a,b]$ に関して、

$\int_a^b f'\psi dx=-\int_a^b f\psi'dx\quad\quad\forall\psi\in C_0^1[a,b]$

が成り立つ場合、はの弱微分と呼ばれる。

連続関数の積分の弱微分は、強い微分と等しい

が連続関数であるとする。このとき、積分はリーマン積分となるので、の(弱微分ではない)微分が可能であり、

$(Jg)'=g\in C[a,b]$

となる。微分が連続であるから $g\in C^1[a,b]$ であることが分かる。

よって $\forall \psi\in C^1_0$ について $g\psi\in C^1_0$

$(Jg\psi)$ の微分のリーマン積分が可能であり、

$\int_a^b\{Jg\psi\}'dx=\[Jg\psi\]_a^b=0\\\quad\quad=\int_a^b (Jg)'\psi dx+\int_a^b (Jg)\psi' dx$

よって、

$\int_a^b g\psi dx=-\int_a^b (Jg)\psi' dx\qquad\qquad\forall \psi\in C^1_0[a,b]$

が成り立つ。よって (Jg) の弱微分もまたである。□

L^2関数を積分した関数の、弱微分と強い微分は等しい。

$f\in L^2[a,b]$ について、弱微分を用いて

f=(Jf)'

となる。

証明

L^2[a,b] 空間は C[a,b] を ||.||^2 ノルムについて完備化したものだった。

$f\in C[a,b]$ については、前の証明より弱微分と強い微分は等しい。そこで積分作用素の連続性とが L^2 で稠密であることを用いて、これを $f\in L^2[a,b]$ について拡張する。

$f_n\in C[a,b]$ をノルム $||.||_{L^2}$ における任意のCauchy列であるとする。 L^2 空間は空間を完備化したものだったから、 f_n は L^2[a,b] 内に極限を持つ

$\lim_{n\rightarrow\infty}||f_n-f||_{L^2}=0$

積分演算子の有界性から、

$||Jf_n-Jf||_{L^2}=||J(f_n-f)||_{L^2}\le (b-a)||f_n-f||_{L^2}$

よって

$\lim_{n\rightarrow\infty}||Jf_n-Jf||_{L^2}=0$

となる。

$|<f,\psi>+<Jf,\psi'>|=|<f,\psi>-<f_n,\psi>-<Jf_n,\psi'>+<Jf,\psi'>|\\\qquad\qquad\qquad\le|<f,\psi>-<f_n,\psi>|+|<Jf_n,\psi'>-<Jf,\psi'>|\\\qquad\qquad\qquad=|<f-f_n,\psi>|+|<Jf_n-Jf,\psi'>|\\\qquad\qquad\qquad\le||f-f_n||\cdot||\psi||+||Jf_n-Jf||\cdot||\psi'||$

よって

$n\rightarrow\infty$ とすると、 $<f,\psi>=-<Jf,\psi'>$ が成り立つ。

つまり (Jf) の弱微分はである。□

弱微分が０なら定数

弱微分が０であるから、

$\int_a^b f\psi' ds=0\quad\forall \psi\in C^1_0[a,b]$

が成り立つ。よって、上が成り立つような $f\in L^2$ は定数であることを示せばよい。

まず、が次のような定数 $c\in R$ であると予測を立てる。

$c=\frac{1}{(b-a)}\int_a^b f\cdot 1dx$

この定数は <f-c1,1>=0 が成り立つ

題意を満たすためには f-c1 が０であることを示せばよい。証明の方針としては、 $f-c1\in L^2$ が任意の連続関数と直交することを示した後、連続関数の空間が L^2 関数の空間で稠密であることを利用して、任意の L^2 関数と直交することを示す。全ての L^2 関数と直交する L^2 関数は０である。ので $f-c1=0\rightarrow f=c1$ がいえる。

さて、を任意の連続関数としよう。この時、

$G(t)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}(t-a)+g(a)-\int_a^t g(t)dt$

は C^1_0[a,b] 関数であり、その微分は $G(t)'=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}-g(t)$ である。

$<f-c1,G'>=0\quad\leftrightarrow\quad<f-c1,\quad\frac{g(b)-g(a)}{b-a}-g>=0\quad\leftrightarrow\quad <f-c1,g>=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}<f-c1,1>=0$

よって任意の連続関数と f-c1 は直交することがわかる。

さて、連続関数は L^2 空間の中で稠密であったから、任意の $h\in L^2[a,b]$ に対して、に収束する連続関数のCauchy列 $h_n\in C[a,b]$ が存在する。

$|<f-c1,h>|=|<f-c1,h_n-h_n+h>|\le|<f-c1,h_n>|+|<f-c1,h-h_n>|\\\qquad\qquad =|<f-c1,h-h_n>|\quad\quad(h_n\in C)\\\qquad\qquad\le||f-c1||\cdot||h-h_n||$

よって右辺はいくらでも小さくできるので、 <f-c1,h>=0 が成り立つ。

$f-c1\in L^2\cap {L^2}^\bot=\{0\}$

よって f-c1=0 が成り立つ。つまり、 f=c1 、は定数である。□

ソボレフ空間

$f,g\in L^2$ の弱微分 f',g' が存在して、それらが L^2 空間に含まれるとする。このとき、

$(f,g)_{H^1}=(f,g)_{L^2}+(f',g')_{L^2}$

で定義されるような内積を持つような空間をソボレフ空間という。

積分演算子を使ったソボレフ空間の表現

ソボレフ空間の任意の要素 $g\in H^1[a,b]$ は次のように定数と $f\in L^2[a,b]$ を使って次のように書くことができる。

g=c+Jf

証明

$f\in L^2$ とすると (Jf) の弱微分は $f\in L^2$ であるから、 $Jf\in H^1$ である。

これを用いて、任意の $g\in H^1$ について、の弱微分 $g'\in L^2$ であるから、 (Jg')'=g' が成り立つ。

つまり (Jg')-g の弱微分は０。

前の問題より、弱微分が０ならば、定数であった。よってある $c\in R$ が存在して、

(Jg')-g=c1

となる。つまり任意の $g\in H^1$ は、実数 $c\in R$ と $f\in L^2[a,b]$ を用いて

g=c1+Jf

のように表すことができる。□

ソボレフ空間内の関数の連続性

L^2[a,b] 関数を積分したものは $\alpha=\frac{1}{2}$ のHöler連続であったから、ソボレフ空間の任意の要素もまた $\alpha=\frac{1}{2}$ のHöler連続である。

C^1空間はH^1空間の中で稠密

C^1[a,b] 空間が H^1[a,b] 空間の中で稠密であることを示そう。

任意の関数 $g\in H^1[a,b]$ について、それに収束する関数のCauchy列 $g_n\in C^1[a,b]$ があればいい。

さて、任意の H^1 の関数は

$g=c1+Jf,\quad (c\in R, \quad f\in L^2)$

のように表すことができた。但し、の弱微分とすると、

$f=g'\qquad\qquad c1=g-Jf$

ここで、 L^2 空間は空間を完備化したものだから、 $f\in L^2$ に対して,ある連続関数の L^2 ノルムに関するCauchy列 $f_n\in C$ が存在して

$\lim_{n\rightarrow\infty}||f-f_n||_{L^2}=0$

となる。ここで、次のような関数列 $g_n\in C^1[a,b]$ を考える

g_n=c1+Jf_n

$||g_n-g_m||^2_{H^1}=||g_n-g_m||^2_{L^2}+||g_n'-g_m'||^2_{L^2}=||Jf_n-Jf_m||^2_{L^2}+||f_n-f_m||^2_{L^2}\le \{(b-a)^2+1\}||f_n-f_m||^2_{L^2}$

よって g_n もCauchy列である。さて、

$||g_n-g||^2_{H^1}=||g_n-g||^2_{L^2}+||g_n'-g'||^2_{L^2}=||Jf_n-Jf||^2_{L^2}+||f_n-f||^2_{L^2}\le \{(b-a)^2+1\}||f_n-f||^2_{L^2}$

よって g_n は H^1 空間でに収束する。任意の $g\in H^1$ に対して、収束するようなCauchy列 $g_n\in C^1$ が存在するので、 C^1 空間は H^1 空間で稠密であるといえる。□

ポアンカレの不等式

H^1 空間内の関数で境界で０となるような値を取る関数が作る部分空間を H^1_0 とかく。このとき $\forall g\in H^1_0$ に対して、弱微分をのように表すと、

$||g'||_{L^2}\ge C||g||_{L^2}$

が成り立つ。ここでは領域の大きさ (b-a) にのみ依存するパラメータ

証明

任意の $g\in H^1$ に対して、

$g=c1+Jf,\quad (c\in R, \quad f\in L^2)$

と表すことができた。を弱微分であるとすると、 g'=(Jf)'=f となる。

$g\in H^1_0$ のとき g(a)=g(b)=0 である。これから、

$c=0,\quad\quad Jf(b)=\int_a^b f(x) dx=0$

がいえる。よって、

$||g'||_{L^2}=||f||_{L^2}\ge \frac{1}{b-a}||Jf||_{L^2}=\frac{1}{b-a}||g||_{L^2}$

が成り立つ。また、このとき、

$||g||_{H^1}\ge (1+\frac{1}{b-a}) ||g||_{L^2}$

も成り立つ。□

Riezの表現定理による微分方程式の解の一意存在性

次のような方程式を解くとする。

$\{\begin{array}{l}-y''+y=f\\y(a)=y(b)=0\end{array}$

このままではには２階微分が可能であることが要求され、右辺によっては解が存在しない場合がある。

さて、上の方程式を直接解く代わりに、次のような方程式を解くことを考える。

$\int_a^b y'(x)v'(x)+y(x)v(x) dx=\int_a^b f(x) v(x) dx\quad\forall v\in H^1_0$

但し、 $f\in L^2$ 、 $y\in H^1_0$ であるとし、 v',y' は v,y の弱い微分であるとした。右辺がソボレフ空間の内積になっていることに注意されたい。

ここで、 $\phi$ は次で定義される $\phi:L^2\rightarrow R$ の線形関数であるとする。

$\phi(v)=\int_a^b f(x)v(x) dx$

これを用いて書き換えると

$(y,v)_{H^1}=\phi(v)\quad\forall v\in H^1_0$

のようになる。

$|\phi(v)|=\|\int_a^b f(x)v(x)\| dx\le ||v||_{L^2}||f||_{L^2}\le (1+\frac{1}{b-a})^{-1}||f||_{L^2} ||v||_{H^1}$

であるから $\phi$ は H^1_0 空間で有界関数である。よってReiezの定理より解 $y\in H^1_0$ が存在して唯一定まる。

Online Mathematics Texts -オンライン数学テキスト-: http://homepage2.nifty.com/masema/index.html

解析についてのwebノート: http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm

線形作用素: http://forum.shimozono.net/room1/package/hilbert-space3.htm

有界線形汎関数: http://www.fbc.keio.ac.jp/~hkomiya/education/lecture/normed-space-2005-3.pdf

線形代数: http://schubert.cs.shinshu-u.ac.jp/~miyao/UD/Subjects/Linear/index.html

金沢大学、小俣正朗先生、2007年度中央大学集中講義『応用解析特別講義第二』: http://polaris.s.kanazawa-u.ac.jp/chuou/chuou.pdf

関数解析Ⅱ: http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/functional-analysis-2.pdf

関数解析Ⅲ: http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/functional-analysis-3.pdf

Book

Functional Analysis	Kosaku Yosida 著
Functional Analysis in Applied Mathematics and Engineering	Michael Pedersen 著
ヒルベルト空間論	保江邦夫著

Made by Nobuyuki UMETANI 梅谷　信行

n.umetani@gmail.com

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目次

一次元の場合

積分演算子

積分演算子は有界

L^2を積分した関数のHolder連続性

弱微分

連続関数の積分の弱微分は、強い微分と等しい

L^2関数を積分した関数の、弱微分と強い微分は等しい。

証明

弱微分が０なら定数

ソボレフ空間

積分演算子を使ったソボレフ空間の表現

証明

ソボレフ空間内の関数の連続性

C^1空間はH^1空間の中で稠密

ポアンカレの不等式

証明

Riezの表現定理による微分方程式の解の一意存在性

参考にしたもの

Wikipedia

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