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basis of Homogenization Methods
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basis of Homogenization Methods

均質化法の基礎




Last Update:2008年03月02日


目次

概要

均質化とは非均質な構造物が周期性を持つ微視構造によって構成されているという場合に、等価である均質な材料物性の値を求める方法である。

微小な周期性を持つ構造物の解析の他にも、形状最適化において制約条件に起因する不安定性を緩和する手法の一つとしても広く用いられている[1]。

均質化法の歴史についてはこちらのページが詳しい

historical development of the homogenization theory
http://www.civil.tohoku.ac.jp/~tei/english/homo-history.htm

一次元の周期構造を持ったバネ

簡単のため1次元のバネを使って均質化法の概念を説明する。

直列合成バネ

直列につないだバネ1,2とする。この剛性バネのバネ定数kを求めてみよう。

バネをuだけ引っ張ったときに力fが発生したとする。

fの元で、バネ1,2はそれぞれ、\frac{f}{k_1},\frac{f}{k_2}だけ伸ばされるから全体の変位u

u=\frac{f}{k_1}+\frac{f}{k_2}

と表される。直列バネのバネ定数kは変位と力の比なので、

k=\frac{f}{u}=\frac{f}{\frac{f}{k_1}+\frac{f}{k_2}}=\frac{1}{\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}

と表すことができる。

直列の場合、合成ばね定数はk_1+k_2とならないことに注意しよう。このことは均質化法の概念として後々重要になってくる。

直列合成バネに等価な一様なバネ

さらに、長さYのバネを考えてみよう。このバネは2種類のバネ1,2が直列につながって出来ていて、それぞれ、単位長さあたりの伸びとと力の比がe1,e2であるとする。また、長さYの中で割合としてそれぞれ、r_1,r_2だけを占めているとする。

バネ1、2のバネ定数k_1,k_2はそれぞれ、

k_1=\frac{e_1}{Y r_1},\;\;k_2=\frac{e_2}{Y r_2}

となる。上の例を用いて、この長さYのバネ定数kは次のようになる。

k=\frac{1}{\frac{Y r_1}{e_1}+\frac{Y r_2}{e_2}}=\frac{1}{Y}\cdot\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}

と表される。これは、単位長さあたりの伸びと力の比e

e=kY=\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}

の均質なバネのバネ定数に等しい。

単純なバネの合成の平均でないことに注意したい。つまり

e\ne r_1 e_1 + r_2 e_2

例えばe_1=1,\;e_2=1000\;\;\;r_1=r_2=0.5の場合はe=\frac{2000}{1001}\simeq 2となる。常に小さい値が大きく影響する。

変位の関数

このバネがY\lambdaだけ引き伸ばされたときの、左端を基点とする変位の関数u_\lambda(y)\;\;(0\le y\le Y)を求めてみよう。

ff=eY\lambda=\frac{\lambda}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}だけ発生する。

バネ1,2の単位あたりの伸びu'_1,u'_2は、それぞれ、

u'_1=\frac{e}{e_1}\lambda,\;\;u'_2=\frac{e}{e_2}\lambda

である。したがって変位の関数u_\lambda(y)は次のとおり、

u_\lambda(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{e}{e_1}\lambda y&\;\;0\le y<Yr_1\\\frac{e}{e_2}\lambda y+\frac{e}{e_1}Y\lambda r_1&\;\; Yr_1\le y<Y\end{array}

周期構造を持ったバネ

さて、この2種類のバネがつながったバネがの長さを係数\epsilonを用いて調整できるとする。つまり、長さがYだったバネが\epsilon Yの長さであるとする。さらに、このバネが直列に沢山つながっていて、周期的構造を持っているとしよう。全体の長さがLであるとき、バネはL/(\epsilon Y)個だけつながっていることになる。

1つ1つのバネをユニットセルと呼ぶ。

1つ1つのバネのバネ定数は

\frac{1}{\epsilon Y}\cdot\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}

と表される。これがL/(\epsilon Y)個だけつながっているとすると、全体のバネ定数k

k=\frac{\epsilon Y}{L}\cdot\frac{1}{\epsilon Y}\cdot\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}=\frac{1}{L}\cdot\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}

と表される。\epsilonが0の極限をとるとき、このバネは均質であるとみなすことができるだろう。このとき、単位長さあたりの伸びと力の比eは、

e=Lk=\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}

と表されることになる。単位長さあたりの伸びと力の比はεの値によらず一定であることが分かる。よって\epsilon=1、つまり長さYの場合の単位長さの伸びと力の比を考えればよいことが分かる。このようにして、長さYのモデルになんらかの形で等価な均質なモデルを考えることで、無限にユニットセルが小さくなったときの値を求めることができる。

スケーリングされたユニットセルの変位

さて、この周期構造を持つ長さLのバネをLuだけ伸ばしたとしよう。バネを引き伸ばしたときの左端を基点とした変位をu^\epsilon_\lambda(x)\;\;(0\le x\le L)と置く。

1つ1つのバネは

\frac{Lu}{L/(\epsilon Y)}=\epsilon Yu

だけ伸ばされていることになる。よって、このユニットセル内の変形を\bar{u}^\epsilon_\lambda(x)\;\;0\le x\le \epsilon Yと表すと、

\bar{u}^\epsilon_\lambda(x)=\epsilon u_\lambda(\frac{x}{\epsilon})

となることが分かる。

マクロ変位とミクロ変位

さて、次のような関数\bar{\chi}_\lambda(y)\;\;(0\le y\le Y)を考えよう

\bar{\chi}_\lambda(y) = \(\lambda y-u_\lambda(y)\)-\frac{1}{|Y|}\int_0^Y \(\lambda y-u_\lambda(y)\) dy

この関数は

\bar{\chi}_\lambda(0)=\bar{\chi}_\lambda(Y)

を満たすように線形成分を取り除き次のように平均を0にするために定数成分を調整したものである。

\int_0^Y \bar{\chi}_\lambda(y) dy=0

Yの基本構造の変位u_\lambdaは次のように表すことができる。

u_\lambda(y)=\lambda y-\bar{\chi}_\lambda(y)-\frac{1}{|Y|}\int_0^Y \(\lambda y-u_\lambda(y)\) dy

周期構造

さて、この関数をつなげて、Y周期性を持たせた関数を\chi_\lambda(y)\;\;(-\infty<y<\infty)とする。つまり、

\chi_\lambda(x)=\bar{\chi}_\lambda(y),\;\;0\le\;y=x-iY\;<Y,\;\;i\in Z

この関数\chi_\lambda特性関数と呼ばれる。特性関数はマクロな変形\lambda xに対するミクロな応答である。\bar{\chi}_\lambda(0)=\bar{\chi}_\lambda(Y)を満たすことから、特性変形は連続関数である。

関数\omega_\lambda(y)\;\;(-\infty<y<\infty)

\omega_\lambda(y)=\lambda y-\chi_\lambda(y)

のように定義する。

\lambda y-\omega_\lambda(y)

Y周期的であることが分かる。

εによるスケーリング

さて、\chi_\lambda,\omega_\lambdaをスケーリングした関数、\chi^\epsilon_\lambda(x),\omega^\epsilon_\lambda(x)\;\;(-\infty< x < \infty)を次のように定義する。

\chi^\epsilon_\lambda(x)=\epsilon\chi_\lambda(\frac{x}{\epsilon})

\omega^\epsilon_\lambda(x)=\lambda x-\chi^\epsilon_\lambda(x)=\lambda x-\epsilon\chi_\lambda(\frac{x}{\epsilon})

変位の収束

この特性変形を使って変位u_\lambda^\epsilonは次のように分解することができる。

u^\epsilon_\lambda(x)=\lambda x-\chi_\lambda^\epsilon-\epsilon c=\lambda x-\epsilon\chi_\lambda(\frac{x}{\epsilon})-\epsilon c

c=\frac{1}{|Y|}\int_0^Y \(\lambda y-u_\lambda(y)\) dy

\epsilon\rightarrow 0のとき、

u^\epsilon_\lambda\rightarrow \lambda x

であることがわかる。

変形の勾配の収束

勾配は

\nabla u^\epsilon_\lambda(x)=\lambda-\nabla\(\epsilon\chi(\frac{x}{\epsilon})\)=\lambda-\nabla_y \chi(\frac{x}{\epsilon}\)

と表される。

勾配は各点ではλに収束しないが、平均化したものはλに収束している

このような平均した収束の概念は弱収束を使って表現することができる。

異方性ポアソン方程式の均質化法

多次元の例として異方性を持ったポアソン方程式を扱う。

ここで、\cal{M}_YYにおける平均を表していて、

\cal{M}_Y(f)=\frac{1}{|Y|}\int_Y f \;dy

である。ここで|Y|はユニットセルの体積ないし面積である。

ポアソン方程式の均質化

次のポアソン方程式を均質化する。

 -\nabla\cdot(A^\epsilon\nabla u^\epsilon)=f\epsilon<<1

A^\epsilonはスケーリングパラメータ\epsilonを使い、Y周期性を持っている係数行列Aの周期を短くしたものであり、

A^\epsilon(x)=A(\frac{x}{\epsilon})

を満たす。\epsilon\rightarrow 0の時に、u^\epsilon\rightarrow u^0となるu^0が、

 -\nabla\cdot(A^0 \nabla u^0)=f

を解けば求まるような、A^0を求めるのが目的である。

このようなA^\epsilonからA^0への収束はH-収束と呼ばれる。

ユニットセルの平衡

マクロの変形\lambda xが与えられたときのユニットセルの変形\hat{\omega}_\lambdaを考えよう。平衡状態の式は次のとおり。

\{\begin{array}{l}\nabla\cdot(A\nabla \hat{\omega}_\lambda)=0\\\hat{\omega}_\lambda-\lambda\cdot y\;\;Y-periodic\end{array}

これは次のように弱形式化される。

\{\begin{array}{l}\int_Y (A\nabla \hat{\omega}_\lambda)\cdot \nabla v dy=0\qquad\qquad\forall v\in W_{per}\\\hat{\omega}_\lambda-\lambda\cdot y \in W_{per}\end{array}

さて、マクロな変形からユニットセルの変形を取り除いたミクロな周期的な変位、つまり特性関数\hat{\chi}_\lambdaを求めてみよう。

\hat{\chi}_\lambda=\lambda\cdot x-\hat{\omega}_\lambda

を代入して、

\{\begin{array}{l}\int_Y (A\nabla \hat{\chi}_\lambda)\cdot \nabla v dy=\int_Y (A\lambda)\cdot \nabla v dy\qquad\qquad\forall v\in W_{per}\\\hat{\chi}_\lambda\in W_{per}\end{array}

となる。

均質化された係数行列

Tartarの定理より均質化された係数A^0

A^0\lambda=\cal{M}_Y\(A\nabla\hat{\omega}_\lambda\)=\cal{M}_Y\(a_{ik}\frac{\partial \hat{\omega}_\lambda}{\partial y_k}\b{e}_i\)\;\;\lambda\in R^N

によって与えられる。

係数行列の転置に関する式

さて、次のように転置されたAに対するユニットセル内の平衡方程式を満たす変位を\omega_\lambdaとする

\{\begin{array}{l}\nabla\cdot(A^T\nabla \omega_\lambda)=0\\\omega_\lambda-\lambda\cdot y\;\;Y-periodic\end{array}

これは次のように弱形式化される。

\{\begin{array}{l}\int_Y (A^T\nabla \omega_\lambda)\cdot \nabla v dy=0\qquad\qquad\forall v\in W_{per}\\\omega_\lambda-\lambda\cdot y \in W_{per}\end{array}

さて、マクロな変形からユニットセルの変形を取り除いたミクロな周期的な変位、つまり特性関数\chi_\lambdaを求めてみよう。

\chi_\lambda=\lambda\cdot x-\omega_\lambda

を代入して、

\{\begin{array}{l}\int_Y (A^T\nabla \chi_\lambda)\cdot \nabla v dy=\int_Y (A^T\lambda)\cdot \nabla v dy\qquad\qquad\forall v\in W_{per}\\\chi_\lambda\in W_{per}\end{array}

となる。この\omegaを用いて

{A^0}^T\lambda=\cal{M}_Y(A^T\nabla\omega_\lambda)

と書くことができる。これは均質化した係数行列の転置と、係数行列の転置を均質化したものが等しいことを表している。つまり、

{A^0}^T={A^T}^0

証明

行列B

B\lambda=\cal{M}_Y(A^T\nabla\omega_\lambda)\;\;\forall \lambda\in R^N

を満たす行列であるとしたときに、

B^T\lambda=A^0\lambda=\cal{M}_Y(A\nabla\hat{\omega}_\lambda)\;\;\forall \lambda\in R^N

を示せばよい。\mu\R^Nの任意の要素であるとする。

(B^T\lambda)\cdot\mu=(B\mu)\cdot\lambda=\frac{1}{|Y|}\{\int_Y A^T\nabla\omega_\mu dy\}\cdot\lambda\\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A^T\nabla\omega_\mu)\cdot\lambda dy   \;=\;   \frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\nabla\omega_\mu dy\\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\nabla\(\mu\cdot x-\chi_\mu\) dy   \;=\;   \frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\mu-(A\lambda)\cdot\nabla\chi_\mu dy\\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\mu-(A\hat{\chi}_\lambda)\cdot\nabla\chi_\mu dy\;\;(\chi_\lambda:Y-periodic) \\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\mu-(A^T\nabla\chi_\mu)\cdot\nabla\hat{\chi}_\lambda dy  \\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\mu-(A^T\mu)\cdot\nabla\hat{\chi}_\lambda dy\;\;(\hat{\chi}_\lambda:Y-periodic)\\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\mu-(A\nabla\hat{\chi}_\lambda)\cdot\mu dy    \;=\;   \frac{1}{|Y|}\int_Y \{A\nabla\(x\cdot\lambda-\hat{\chi}_\lambda\)\}\cdot\mu dy   \\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\{\int_Y \(A\nabla\hat{\omega}_\lambda\)dy\}\cdot \mu     \;=\;    (A^0\lambda)\cdot\mu

任意の\mu\in R^Nについて

(B^T\lambda)\cdot\mu=(A^0\lambda)\cdot\mu

が成り立つのでB^T=A^0が成り立つ。□

漸近展開の方法

上の均質化法の式は漸近展開(asymptotic expansion)を用いることで比較的簡単に確認できる。

変位の漸近展開

次のように漸近展開できるとする。

u_{\epsilon}(x)=u_0(x,\frac{x}{\epsilon})+\epsilon u_1(x,\frac{x}{\epsilon})+\epsilon^2 u_2(x,\frac{x}{\epsilon})+\ldots\\\qquad\qquad=\sum^{+\infty}_{i=0}\epsilon^i u_i(x,\frac{x}{\epsilon})

u_iの微分は次のようになる

\nabla u_i(x,\frac{x}{\epsilon})=\nabla_x u_i(x,\frac{x}{\epsilon})+\frac{1}{\epsilon}\nabla_y u_i(x,\frac{x}{\epsilon})

但し、\nabla_xはマクロスケール、\nabla_yはミクロスケールの微分を表す。

これを上式に代入すると

\nabla u_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\epsilon}\nabla_y u_0(x,\frac{x}{\epsilon})+\sum^{+\infty}_{i=0}\epsilon_i(\nabla_y u_{i+1} + \nabla_x u_i)(x,\frac{x}{\epsilon})

となる。さて、これをポアソン方程式に代入してみよう

 -\frac{1}{\epsilon^2}\[\nabla_y\cdot \(A\nabla_y u_0\)\](x,\frac{x}{\epsilon})\\ -\frac{1}{\epsilon} \[\nabla_y\cdot \(A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1\)+\nabla_x\cdot\(A\nabla_y u_0\)\] (x,\frac{x}{\epsilon})\\    -\[\nabla_x\cdot(A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1)+\nabla_y\cdot(A\nabla_x u_1+A\nabla_y u_2)\](x,\frac{x}{\epsilon})\\   -\sum^{\infty}_{i=1}\epsilon^i\[\nabla_x\cdot(A\nabla_x u_i+A\nabla_y u_{i+1})+\nabla_y\cdot(A\nabla_x u_{i+1}+A\nabla_y u_{i+2})\](x,\frac{x}{\epsilon})\\=f(x)

さて、漸近展開法ではパラメータ\epsilonに関する項について右辺左辺が等しいという条件を使ってu_0,u_1,\ldotsを求める。実際これらは以下のようになる。

ε^-2の項

\epsilon^{-2}の項に着目しよう。

 -\nabla_y\cdot\(A(y)\nabla_y u_0(x,y)\)=0

これはyについてのみの方程式である。これはu_0yによらない関数であること

u_0(x,y)=u_0(x)

を示している。よって\nabla_y  u_0=0

つまりu_0は周期的な変形をしない、滑らかな関数である。

ε^-1の項

\epsilon^{-1}の項に着目しよう。

\nabla_y  u_0=0を代入すると、

 -\nabla_y\cdot \(A\nabla_y u_1\)=\nabla_y\cdot\(A\nabla_x u_0\)

となる。これは、ミクロの周期変形u_1は、\nabla_x u_0と線形な関係にあることをを表している。

ここで、一次独立なベクトル\lambda_iに対応する周期変形モードを\hat{\chi}_iとする。つまり、

 \nabla_y\cdot \(A\nabla_y \hat{\chi}_i\)=\nabla_y\cdot\(A\lambda_i\)

\nabla_x u_0=\alpha_i\lambda_i

と分解するとき、

u_1=\alpha_i \hat{\chi}_iと表される。

\nabla_x u_0からu_1への変換行列を\hat{\chi}と書くことにする。つまり、

u_1=\hat{\chi}(\nabla_x u_0)

変形モード\lambda_iとして正規直交基底e_iを用いると、

\hat{\chi}=\[\hat{\chi}_1,\hat{\chi}_2,\hat{\chi}_3\]

と簡単に書ける

ε^0の項

\epsilon^{-1}の項つまり定数項に着目しよう。

 -\nabla_y\cdot(A\nabla_y u_2)=\nabla_x\cdot(A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1)+\nabla_y\cdot(A\nabla_x u_1)+f(x)

さて、上の式をユニットセルで積分して平均する。ここで、u_1,u_2は周期的であるから、

\int_Y \nabla_y\cdot(A\nabla_y u_1)dy=\int_{\partial Y} \b{n}_Y\cdot(A\nabla_y u_1)dS=0

\int_Y \nabla_y\cdot(A\nabla_y u_2)dy=\int_{\partial Y} \b{n}_Y\cdot(A\nabla_y u_2)dS=0

が成り立つことに注意しよう。このとき、

 \frac{1}{|Y|}\int_Y -\nabla_y\cdot(A\nabla_y u_2) dy=\frac{1}{|Y|}\int_Y \nabla_x\cdot(A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1)+\nabla_y\cdot(A\nabla_x u_1)+f(x)dy\\\Leftrightarrow-\frac{1}{|Y|}\int_Y \nabla_x\cdot(A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1)dy=\frac{1}{|Y|}\int_Yf(x)dy\\\Leftrightarrow\nabla_x\cdot\left\{\frac{1}{|Y|}\int_Y A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1dy\right\}=f(x)\\\Leftrightarrow\nabla_x\cdot\left\{\frac{1}{|Y|}\int_Y A(I+\nabla_y\hat{\chi})dy(\nabla_x u_0)\right\}=f(x)

ここで、

A^0=\frac{1}{|Y|}\int_Y A(I+\nabla_y\hat{\chi})dy

とすると、最終的に

\nabla_x\cdot (A^0\nabla_x u_0)=f(x)

を解くことでマクロ変形u^0が求まる。

均質化法の数学的準備

均質化の正当性について示すには数学、特に関数解析の知識が必要である。特に重要な式を以下に挙げる。

強い収束

ある列x_n\in Exに強く収束するとは

||x_n-x||_E\rightarrow 0

であることをいう。

弱い収束

ある列{x_n}\in Eは次のようなときxに弱く収束する(Converge Weakly)と言われる。

\forall x'\in E', \qquad\qquad <x',x_n>_{E',E}\rightarrow<x',x>_{E',E}

このような場合次のように書かれる

x_n\rightarrow x\qquad\qquad weakly\quad in \quad E

このような弱い収束は平均的な意味での収束という意味がある。

強い収束の方が弱い収束よりも、強い意味での収束

強く収束するなら、弱く収束する。なぜなら、

|<x',x_n>_{E',E}-<x',x>_{E',E}|=|<x',x_n-x>_{E',E}|\le ||x'||_E'||x_n-x||_E

であるかあら、強く収束する場合||x_n-x||_Eは任意に小さくできるので、<x',x_n>_{E',E}<x',x>_{E',E}に任意に近づけることができるからである。

弱収束するものと強収束するものの内積は、それぞれの収束先の積に収束する

点列\{x_n\}\sub E\{y_n\}\sub E'がそれぞれ次のように収束するとする。

\{\begin{array}{ll}x_n\rightarrow x&weakly\;in\;E\\y_n\rightarrow y&strongly\;in\;E'\end{array}

このとき、

\lim_{n\rightarrow\infty}|<x_n,y_n>_{E,E'}-<x,y>_{E,E'}|\\\;\;=\lim_{n\rightarrow\infty}|<y_n-y,x_n>_{E,E'}+<y,x_n-x>_{E,E'}|\\\;\;\le\lim_{n\rightarrow\infty}||y_n-y||_{E'}||x_n||_E+\lim_{n\rightarrow\infty}|<y,x_n-x>|\\\;\;=0

よって

\lim_{n\rightarrow\infty}<x_n,y_n>_{E,E'}\rightarrow <x,y>_{E,E'}

となる。

H^1空間での弱収束はL^2空間での強収束である。

ソボレフの埋蔵定理よりH^1空間はL^2空間にコンパクトに埋め込まれる。よってH^1空間での弱収束する列は、L^2空間での強収束する。

x_n\rightarrow x\;weakly\;in\;H^1\;\;\Rightarrow\;\;x_n\rightarrow x\;strongly\;in\;L^2

激しく振動する周期的関数の弱収束について

fY周期的な関数f\in L^2(Y)であるとする。次のようにfをパラメータ\epsilonを使ってスケーリングしたものをf^\epsilonとする。

f_{\epsilon}(x)=f(\frac{x}{\epsilon})\qquad a.e.\quad on\;R^N

このとき\epsilon\rightarrow0

f_{\epsilon}\rightarrow\cal{M}_Y(f)=\frac{1}{|Y|}\int_Yf(y)dyweakly in L^2(\omega)

となる。

有界列の弱収束について(Eberlein-Smuljan)

Eが再帰的で\{x_n\}Eの中の有界な列であるとする。

ある列\{x_n\}の部分列\{x_n'\}x\in Eが存在し、

\lim_{k\rightarrow \infty} x_{n}'=x \qquad\qquad weakly\quad in \quad E

となる。またxが一意に定まるとき、

\lim_{k\rightarrow \infty} x_{n}=x \qquad\qquad weakly\quad in \quad E

となる。

証明は[Functional Analysis, Kosaku Yosida p141]を参考されたい。

数学的な理論

スケーリングされたユニットセルの変形の収束

さて、\epsilonでスケーリングしたユニットセルの\lambdaに対する応答変位を\omega^\epsilon_\lambdaとする。

\omega^{\epsilon}_{\lambda}(x)=\epsilon\omega_\lambda\(\frac{x}{\epsilon}\)=\lambda\cdot x-\epsilon \chi_\lambda\(\frac{x}{\epsilon}\)

\chi_{\lambda}Y周期的で、Y平均が0であるからすぐに次が満たされる

\omega^{\epsilon}_{\lambda}\rightarrow \lambda\cdot x\quad weakly\quad in\quad L^2(\Omega)

(\nabla_x\omega^{\epsilon}_{\lambda})(x)=\lambda-\nabla_y\chi_\lambda\(\frac {x}{\epsilon})

\nabla_x\omega^{\epsilon}_{\lambda}\rightarrow\cal{M}_Y\(\lambda-\nabla_y\chi_\lambda\)=\lambda-\cal{M}_Y\(\nabla_y\chi_\lambda\)\quad weakly\quad in\quad L^2(\Omega)

グリーン・ガウスの定理からが成り立つ。

\int_Y\nabla_y\chi_\lambda(y)dy=\int_{\partial Y} \chi_\lambda\cdot n ds_y=0\;\;(\chi_\lambda:Y-periodic)

よって

\cal{M}_Y\(\nabla_y\chi_\lambda\)=0

結局上から

\nabla_x\omega^{\epsilon}_{\lambda}\rightarrow\lambda\quad weakly\quad in\quad L^2(\Omega)

が成り立つ。つまり、

\omega^{\epsilon}_{\lambda}\rightarrow\lambda\cdot x\quad weakly\quad in\quad H^1_0(\Omega)

ソボレフの埋蔵定理から、L^2空間はH^1空間でコンパクトである。よって、

\omega^{\epsilon}_{\lambda}\rightarrow\lambda\cdot x\quad strongly\quad in\quad L^2(\Omega)

が成り立つ。

Tartarの定理

\{\begin{array}{ll}u^\epsilon\rightarrow u^0&\;\;weakly\;in\;H^1_0(\Omega)\\A^\epsilon\nabla u^\epsilon\rightarrow A^0\nabla u^0&\;\;weakly\;in\;(L^2(\Omega))^N\end{array}

但し、u^0

 \{\begin{array}{ll}-\nabla\cdot(A^0 \nabla u^0)=f&\;in\;\Omega\\u^0=0&\;in\;\partial\Omega\end{array}

の解で、正定値対称の行列A^0は次のように与えられる。

{A^0}\lambda=\cal{M}(A\nabla\hat{\omega}_\lambda)\;\;\lambda\in R^N

Tartarの定理の証明

係数行列の転置に関する式から、

{A^0}\lambda=\cal{M}(A\nabla\hat{\omega}_\lambda)\;\;\lambda\in R^N

{A^0}^T\lambda=\cal{M}_Y(A^T\nabla\omega_\lambda)\;\;\lambda\in R^N

は等価であった。

下式を示せば上式を示したことになる。ここでは転置に関する均質化である下式を示す。証明は[Introduction to Homogenization, Doina Cioranescu and Patrizia Donato, chap8]を大幅に参考にした。

変位と応力の収束

\int_{\Omega}A^{\epsilon}\nabla u^{\epsilon}\nabla v dV=<f,v>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}

A^{\epsilon}は楕円的。つまりA^{\epsilon}\in M(\alpha,\beta,\Omega)

|A^{\epsilon}\lambda|\le \beta |\lambda|

\alpha|\lambda|^2\le|\lambda^T A^{\epsilon}\lambda|

||u^{\epsilon}||_{H^1_0(\Omega)}\le\frac{1}{\alpha}||f||_{H^{-1}(\Omega)

よって||u^{\epsilon}||は有界列であることがわかる。

ある\{u^{\epsilon}\}の部分列\{u^{\epsilon}'\}u^0\in H^1_0(\Omega)が存在して

u^{\epsilon}'\rightarrow u^0\quad\quad weakly\quad in\quad H^1_0(\Omega)

となる。また、ソボレフの埋蔵定理より

u^{\epsilon}'\rightarrow u^0\quad\quad strongly\quad in\quad L^2(\Omega)

となる。ここで\xi^{\epsilon}を次のように定義しよう。

\xi^{\epsilon}=(\xi^{\epsilon}_1,\ldots,\xi^{\epsilon}_N)=\(a^{\epsilon}_{1j}\frac{\partial u^{\epsilon}}{\partial x_j},\ldots,a^{\epsilon}_{Nj}\frac{\partial u^{\epsilon}}{\partial x_j}\)=A^{\epsilon}\nabla u^{\epsilon}

\int_{\Omega}\xi^{\epsilon}\nabla u dV=<f,v>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall v\in H^1_0

||\xi^{\epsilon}||_{L^2(\Omega)}\le\frac{\beta}{\alpha}||f||_{H^{-1}(\Omega)}

よってある部分列\{\xi^{\epsilon}'\}\xi^0\in L^2(\Omega)が存在して

{\xi}^{\epsilon}'\rightarrow {\xi}^0\quad\quad weakly\quad in\quad L^2(\Omega)^N

となる。弱収束の定義から

\int_{\Omega}\xi^0\cdot\nabla u dV=<f,v>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall v\in H^1_0

を満たすこれは

 -div \xi^0=f\quad in\quad\Omega

を満たすことを意味している。

特性変形によって発生する周期的応力の収束

\eta^\epsilon_\lambda(x)=\frac{1}{\epsilon}\[A^T\(\frac{x}{\epsilon}\)\(\nabla_y\(\epsilon \omega_\lambda \)\)\(\frac{x}{\epsilon}\)\]=(A^T\nabla_y \omega_\lambda)\(\frac{x}{\epsilon}\)

AY周期的でA^T\nabla_y\omega_\lambdaY周期的だから細かく振動する周期関数の弱収束に関する定理を使って

\eta^\epsilon_\lambda\rightarrow\cal{M}_Y(A^T\nabla\omega_\lambda)={A^T}^0\lambda\qquad weakly\quad in\quad L^2(\Omega)^N

ユニットセルの変形によって発生する周期的応力の釣り合い

\psi\in D(\Omega)

\psi^\epsilon(y)=\psi(\epsilon y)

\int_{R^N} (A^T\nabla\omega_\lambda)(y)\nabla \psi^\epsilon(y)dy=0

さて、x=\epsilon yをここに代入して、

\int_\Omega (A^T\nabla\omega_\lambda)(\frac{x}{\epsilon})\nabla \psi(x)dy=0,\;\forall\psi\in D(\Omega)

\int_\Omega \eta^\epsilon_\lambda(x)\nabla \psi(x)dy=0\;\;\forall\psi\in D(\Omega)

が成り立つ。

Tartarの方法

応力\xi^\epsilonの弱形式の平衡方程式のテスト関数vv=\omega^\epsilon_\lambda\psiを代入して、

\int_\Omega\(\xi^\epsilon\cdot\nabla\omega^\epsilon_\lambda\)\psi dx+\int_\Omega(\xi^\epsilon\cdot\nabla\psi)\omega^\epsilon_\lambda dx=<f,\psi\omega^\epsilon_\lambda>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}

また、特性変形によって発生する周期的応力\eta^\epsilon_\lambdaの弱形式による釣り合いの式のテスト関数\psi\psi=u^\epsilon_\lambda\psiを代入して

\int_\Omega\(\eta^\epsilon\cdot\nabla u^\epsilon_\lambda\)\psi dx+\int_\Omega\(\eta^\epsilon_\lambda\cdot\nabla\psi\) u^\epsilon_\lambda dx=0

が成り立つ。応力と特性変形の勾配の内積は、特性変形による応力と変形の勾配と等しい。

\xi^\epsilon\cdot\nabla\omega^\epsilon_\lambda=A^\epsilon\nabla u^\epsilon\cdot\nabla\omega^\epsilon_\lambda=A^\epsilon^T\nabla\omega^\epsilon_\lambda\cdot\nabla u^\epsilon=\eta^\epsilon_\lambda\cdot\nabla u^\epsilon

上式から下式を引いて次を得る。

\int_\Omega\(\xi^\epsilon\cdot\nabla\psi\)\omega^\epsilon_\lambda dx-\int_\Omega\(\eta^\epsilon_\lambda\cdot\nabla\psi\) u^\epsilon_\lambda dx=<f,\psi\omega^\epsilon_\lambda>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}

上の定理より強収束するものと弱収束するものの内積は弱収束するのであった。

ここで、\xi^\epsilonL^2で弱収束、\omega^\epsilon_\lambdaL^2で強収束なので以下が成り立つ。

\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_\Omega\(\xi^\epsilon\cdot\nabla\psi\)\omega^\epsilon_\lambda dx = \int_\Omega\(\xi^0\cdot\nabla\psi\)(\lambda x) dx\;\;\forall\psi\in D(\Omega)

同様にして、\eta^\epsilonL^2で弱収束、u^\epsilonL^2で強収束なので以下が成り立つ。

\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_\Omega\(\eta^\epsilon_\lambda\cdot\nabla\psi\)u^\epsilon dx = \int_\Omega\({A^T}^0\lambda\cdot\nabla\psi\) u^0 dx\;\;\forall\psi\in D(\Omega)

これらを上の式に代入すると次を得る。

\int_\Omega \xi^0\cdot\nabla\psi(\lambda x) dx - \int_\Omega\({A^T}^0\lambda\cdot\nabla\psi\) u^0 dx = <f,(\lambda\cdot x)\psi>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall\psi\in D(\Omega)

書き換えると

\int_\Omega \xi^0\cdot\nabla[(\lambda x)\psi] dx - \int_\Omega \(\xi^0\cdot\lambda\) \psi dx - \int_\Omega\({A^T}^0\lambda\cdot\nabla\psi\) u^0 dx = <f,(\lambda\cdot x)\psi>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall\psi\in D(\Omega)

テスト関数に(\lambda\cdot x)\psiを代入して

\int_\Omega \xi^0\cdot\nabla[(\lambda x)\psi] dx  = <f,(\lambda\cdot x)\psi>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall\psi\in D(\Omega)

これを上に代入すると

\int_\Omega\(\xi^0\cdot\lambda\)\psi dx = - \int_\Omega\({A^T}^0\lambda\cdot\nabla\psi\) u^0 dx\;\;\forall\psi\in D(\Omega)

となる。ここで、{A^T}^0\lambda\cdot\nabla\psiは定数であったので、

\int_\Omega\(\xi^0\cdot\lambda\)\psi dx = \int_\Omega\({A^T}^0\lambda\cdot\nabla u^0\) \psi dx\;\;\forall\psi\in D(\Omega)

が成り立つ。以上から

\xi^0\cdot\lambda={A^T}^0\lambda\cdot\nabla u^0\;\;\forall \lambda\in R^N

が成り立つことがわかる。

均質化された係数行列と解の関係

上式の\lambdaは任意であったので、\lambda=\nabla u^0を代入して領域\Omegaで積分すると、

\int_\Omega({A^T}^0\nabla u^0)\cdot\nabla u^0 dx=\int_\Omega\xi^0\cdot\nabla u^0 dx=<f,u^0>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}

が成り立つ。Lax-Milgramの定理からu^0

 \{\begin{array}{ll}-\nabla\cdot(A^0 \nabla u^0)=f&\;in\;\Omega\\u^0=0&\;in\;\partial\Omega\end{array}

の解で、一意に存在することが分かる。よって題意は証明された□

全体のエネルギーの収束

全体の歪エネルギーE^\epsilon

E^\epsilon(u^\epsilon)=\int_\Omega (A^\epsilon\nabla u^\epsilon)\cdot\nabla u^\epsilon dx

のように書くことができる\epsilon\rightarrow 0のときE^\epsilonは次のようなE^0に収束する。

E^\epsilon(u^\epsilon)\rightarrow E^0(u^0)=\int_\Omega (A^0\nabla u^0)\cdot\nabla u^0 dx

証明

\int_\Omega (A^\epsilon \nabla u^\epsilon)\cdot\nabla u^\epsilon dx  = <f,u^\epsilon>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall\psi\in D(\Omega)

u^\epsilonu^0に収束するので、

<f,u^0>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}<f,u^\epsilon>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_\Omega (A^\epsilon \nabla u^\epsilon)\cdot\nabla u^\epsilon dx=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}E^\epsilon(u^\epsilon)

となる。一方

<f,u^0>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}=\int_\Omega (A^0\nabla u^0)\cdot\nabla u^0 dx=E^0(u^0)

であるから、

E^\epsilon(u^\epsilon)\rightarrow E^0(u^0)

が成り立つ。

参考にしたもの

Paper

[1]Bendsøe,M.P. and Kikuchi, N.:Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method, Comp. Meths. Appl. Mechs. Engng., Vol. 71, pp.197-224

[2]Non-Homogeneous Media and Vibration Theory, Edited by Enrique Sanchez-Palencia, Lecture Notes in Physics, vol. 127

Links

東北大学大学院情報科学研究科、人間社会情報科学専攻、寺田賢二郎先生のスライド
http://young.iis.u-tokyo.ac.jp/image-bio/meeting3/terada1010.pdf
東京大学新領域創成科学研究科、久田・杉浦研究室、渡邊先生の講義資料
http://www.sml.k.u-tokyo.ac.jp/members/nabe/
補遺B -均質化法の理論-
http://www.gisolab.t.u-tokyo.ac.jp/research/composite2/hoikinshitsuka.pdf

Books

均質化法入門- 計算力学レクチャーシリーズ- 寺田賢二郎 著
An Introduction to Homogenization Doina Cioranescu, Patrizia Donato 著
Shape Optimization by the Homogenization Method Gregoire Allaire 著
Functional Analysis Kosaku Yosida 著


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