basis of Homogenization Methods

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均質化法の基礎

Last Update:2008年03月02日

概要

均質化とは非均質な構造物が周期性を持つ微視構造によって構成されているという場合に、等価である均質な材料物性の値を求める方法である。

微小な周期性を持つ構造物の解析の他にも、形状最適化において制約条件に起因する不安定性を緩和する手法の一つとしても広く用いられている[1]。

均質化法の歴史についてはこちらのページが詳しい

historical development of the homogenization theory: http://www.civil.tohoku.ac.jp/~tei/english/homo-history.htm

一次元の周期構造を持ったバネ

簡単のため１次元のバネを使って均質化法の概念を説明する。

直列合成バネ

直列につないだバネ１，２とする。この剛性バネのバネ定数を求めてみよう。

バネをだけ引っ張ったときに力が発生したとする。

力の元で、バネ１，２はそれぞれ、 $\frac{f}{k_1},\frac{f}{k_2}$ だけ伸ばされるから全体の変位は

$u=\frac{f}{k_1}+\frac{f}{k_2}$

と表される。直列バネのバネ定数は変位と力の比なので、

$k=\frac{f}{u}=\frac{f}{\frac{f}{k_1}+\frac{f}{k_2}}=\frac{1}{\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}$

と表すことができる。

直列の場合、合成ばね定数は k_1+k_2 とならないことに注意しよう。このことは均質化法の概念として後々重要になってくる。

直列合成バネに等価な一様なバネ

さらに、長さのバネを考えてみよう。このバネは２種類のバネ１，２が直列につながって出来ていて、それぞれ、単位長さあたりの伸びとと力の比が e1,e2 であるとする。また、長さの中で割合としてそれぞれ、 r_1,r_2 だけを占めているとする。

バネ１、２のバネ定数 k_1,k_2 はそれぞれ、

$k_1=\frac{e_1}{Y r_1},\;\;k_2=\frac{e_2}{Y r_2}$

となる。上の例を用いて、この長さのバネ定数は次のようになる。

$k=\frac{1}{\frac{Y r_1}{e_1}+\frac{Y r_2}{e_2}}=\frac{1}{Y}\cdot\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}$

と表される。これは、単位長さあたりの伸びと力の比が

$e=kY=\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}$

の均質なバネのバネ定数に等しい。

単純なバネの合成の平均でないことに注意したい。つまり

$e\ne r_1 e_1 + r_2 e_2$

例えば $e_1=1,\;e_2=1000\;\;\;r_1=r_2=0.5$ の場合は $e=\frac{2000}{1001}\simeq 2$ となる。常に小さい値が大きく影響する。

変位の関数

このバネが $Y\lambda$ だけ引き伸ばされたときの、左端を基点とする変位の関数 $u_\lambda(y)\;\;(0\le y\le Y)$ を求めてみよう。

力は $f=eY\lambda=\frac{\lambda}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}$ だけ発生する。

バネ１，２の単位あたりの伸び u'_1,u'_2 は、それぞれ、

$u'_1=\frac{e}{e_1}\lambda,\;\;u'_2=\frac{e}{e_2}\lambda$

である。したがって変位の関数 $u_\lambda(y)$ は次のとおり、

$u_\lambda(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{e}{e_1}\lambda y&\;\;0\le y<Yr_1\\\frac{e}{e_2}\lambda y+\frac{e}{e_1}Y\lambda r_1&\;\; Yr_1\le y<Y\end{array}$

周期構造を持ったバネ

さて、この2種類のバネがつながったバネがの長さを係数 $\epsilon$ を用いて調整できるとする。つまり、長さがだったバネが $\epsilon Y$ の長さであるとする。さらに、このバネが直列に沢山つながっていて、周期的構造を持っているとしよう。全体の長さがであるとき、バネは $L/(\epsilon Y)$ 個だけつながっていることになる。

１つ１つのバネをユニットセルと呼ぶ。

１つ１つのバネのバネ定数は

$\frac{1}{\epsilon Y}\cdot\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}$

と表される。これが $L/(\epsilon Y)$ 個だけつながっているとすると、全体のバネ定数は

$k=\frac{\epsilon Y}{L}\cdot\frac{1}{\epsilon Y}\cdot\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}=\frac{1}{L}\cdot\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}$

と表される。 $\epsilon$ が０の極限をとるとき、このバネは均質であるとみなすことができるだろう。このとき、単位長さあたりの伸びと力の比は、

$e=Lk=\frac{1}{\frac{r_1}{e_1}+\frac{r_2}{e_2}}$

と表されることになる。単位長さあたりの伸びと力の比はεの値によらず一定であることが分かる。よって $\epsilon=1$ 、つまり長さの場合の単位長さの伸びと力の比を考えればよいことが分かる。このようにして、長さのモデルになんらかの形で等価な均質なモデルを考えることで、無限にユニットセルが小さくなったときの値を求めることができる。

スケーリングされたユニットセルの変位

さて、この周期構造を持つ長さのバネをだけ伸ばしたとしよう。バネを引き伸ばしたときの左端を基点とした変位を $u^\epsilon_\lambda(x)\;\;(0\le x\le L)$ と置く。

１つ１つのバネは

$\frac{Lu}{L/(\epsilon Y)}=\epsilon Yu$

だけ伸ばされていることになる。よって、このユニットセル内の変形を $\bar{u}^\epsilon_\lambda(x)\;\;0\le x\le \epsilon Y$ と表すと、

$\bar{u}^\epsilon_\lambda(x)=\epsilon u_\lambda(\frac{x}{\epsilon})$

となることが分かる。

マクロ変位とミクロ変位

さて、次のような関数 $\bar{\chi}_\lambda(y)\;\;(0\le y\le Y)$ を考えよう

$\bar{\chi}_\lambda(y) = $\lambda y-u_\lambda(y)$-\frac{1}{|Y|}\int_0^Y $\lambda y-u_\lambda(y)$ dy$

この関数は

$\bar{\chi}_\lambda(0)=\bar{\chi}_\lambda(Y)$

を満たすように線形成分を取り除き次のように平均を０にするために定数成分を調整したものである。

$\int_0^Y \bar{\chi}_\lambda(y) dy=0$

Yの基本構造の変位 $u_\lambda$ は次のように表すことができる。

$u_\lambda(y)=\lambda y-\bar{\chi}_\lambda(y)-\frac{1}{|Y|}\int_0^Y $\lambda y-u_\lambda(y)$ dy$

周期構造

さて、この関数をつなげて、周期性を持たせた関数を $\chi_\lambda(y)\;\;(-\infty<y<\infty)$ とする。つまり、

$\chi_\lambda(x)=\bar{\chi}_\lambda(y),\;\;0\le\;y=x-iY\;<Y,\;\;i\in Z$

この関数 $\chi_\lambda$ は特性関数と呼ばれる。特性関数はマクロな変形 $\lambda x$ に対するミクロな応答である。 $\bar{\chi}_\lambda(0)=\bar{\chi}_\lambda(Y)$ を満たすことから、特性変形は連続関数である。

関数 $\omega_\lambda(y)\;\;(-\infty<y<\infty)$ を

$\omega_\lambda(y)=\lambda y-\chi_\lambda(y)$

のように定義する。

$\lambda y-\omega_\lambda(y)$

は周期的であることが分かる。

εによるスケーリング

さて、 $\chi_\lambda,\omega_\lambda$ をスケーリングした関数、 $\chi^\epsilon_\lambda(x),\omega^\epsilon_\lambda(x)\;\;(-\infty< x < \infty)$ を次のように定義する。

$\chi^\epsilon_\lambda(x)=\epsilon\chi_\lambda(\frac{x}{\epsilon})$

$\omega^\epsilon_\lambda(x)=\lambda x-\chi^\epsilon_\lambda(x)=\lambda x-\epsilon\chi_\lambda(\frac{x}{\epsilon})$

変位の収束

この特性変形を使って変位 $u_\lambda^\epsilon$ は次のように分解することができる。

$u^\epsilon_\lambda(x)=\lambda x-\chi_\lambda^\epsilon-\epsilon c=\lambda x-\epsilon\chi_\lambda(\frac{x}{\epsilon})-\epsilon c$

$c=\frac{1}{|Y|}\int_0^Y $\lambda y-u_\lambda(y)$ dy$

$\epsilon\rightarrow 0$ のとき、

$u^\epsilon_\lambda\rightarrow \lambda x$

であることがわかる。

変形の勾配の収束

勾配は

$\nabla u^\epsilon_\lambda(x)=\lambda-\nabla$\epsilon\chi(\frac{x}{\epsilon})$=\lambda-\nabla_y \chi(\frac{x}{\epsilon}\)$

と表される。

勾配は各点ではλに収束しないが、平均化したものはλに収束している

このような平均した収束の概念は弱収束を使って表現することができる。

異方性ポアソン方程式の均質化法

多次元の例として異方性を持ったポアソン方程式を扱う。

ここで、 $\cal{M}_Y$ はにおける平均を表していて、

$\cal{M}_Y(f)=\frac{1}{|Y|}\int_Y f \;dy$

である。ここで |Y| はユニットセルの体積ないし面積である。

ポアソン方程式の均質化

次のポアソン方程式を均質化する。

$-\nabla\cdot(A^\epsilon\nabla u^\epsilon)=f$ 、 $\epsilon<<1$

$A^\epsilon$ はスケーリングパラメータ $\epsilon$ を使い、周期性を持っている係数行列の周期を短くしたものであり、

$A^\epsilon(x)=A(\frac{x}{\epsilon})$

を満たす。 $\epsilon\rightarrow 0$ の時に、 $u^\epsilon\rightarrow u^0$ となる u^0 が、

$-\nabla\cdot(A^0 \nabla u^0)=f$

を解けば求まるような、 A^0 を求めるのが目的である。

このような $A^\epsilon$ から A^0 への収束はH-収束と呼ばれる。

ユニットセルの平衡

マクロの変形 $\lambda x$ が与えられたときのユニットセルの変形 $\hat{\omega}_\lambda$ を考えよう。平衡状態の式は次のとおり。

$\{\begin{array}{l}\nabla\cdot(A\nabla \hat{\omega}_\lambda)=0\\\hat{\omega}_\lambda-\lambda\cdot y\;\;Y-periodic\end{array}$

これは次のように弱形式化される。

$\{\begin{array}{l}\int_Y (A\nabla \hat{\omega}_\lambda)\cdot \nabla v dy=0\qquad\qquad\forall v\in W_{per}\\\hat{\omega}_\lambda-\lambda\cdot y \in W_{per}\end{array}$

さて、マクロな変形からユニットセルの変形を取り除いたミクロな周期的な変位、つまり特性関数 $\hat{\chi}_\lambda$ を求めてみよう。

$\hat{\chi}_\lambda=\lambda\cdot x-\hat{\omega}_\lambda$

を代入して、

$\{\begin{array}{l}\int_Y (A\nabla \hat{\chi}_\lambda)\cdot \nabla v dy=\int_Y (A\lambda)\cdot \nabla v dy\qquad\qquad\forall v\in W_{per}\\\hat{\chi}_\lambda\in W_{per}\end{array}$

となる。

均質化された係数行列

Tartarの定理より均質化された係数 A^0 は

$A^0\lambda=\cal{M}_Y$A\nabla\hat{\omega}_\lambda$=\cal{M}_Y$a_{ik}\frac{\partial \hat{\omega}_\lambda}{\partial y_k}\b{e}_i$\;\;\lambda\in R^N$

によって与えられる。

係数行列の転置に関する式

さて、次のように転置されたに対するユニットセル内の平衡方程式を満たす変位を $\omega_\lambda$ とする

$\{\begin{array}{l}\nabla\cdot(A^T\nabla \omega_\lambda)=0\\\omega_\lambda-\lambda\cdot y\;\;Y-periodic\end{array}$

これは次のように弱形式化される。

$\{\begin{array}{l}\int_Y (A^T\nabla \omega_\lambda)\cdot \nabla v dy=0\qquad\qquad\forall v\in W_{per}\\\omega_\lambda-\lambda\cdot y \in W_{per}\end{array}$

さて、マクロな変形からユニットセルの変形を取り除いたミクロな周期的な変位、つまり特性関数 $\chi_\lambda$ を求めてみよう。

$\chi_\lambda=\lambda\cdot x-\omega_\lambda$

を代入して、

$\{\begin{array}{l}\int_Y (A^T\nabla \chi_\lambda)\cdot \nabla v dy=\int_Y (A^T\lambda)\cdot \nabla v dy\qquad\qquad\forall v\in W_{per}\\\chi_\lambda\in W_{per}\end{array}$

となる。この $\omega$ を用いて

${A^0}^T\lambda=\cal{M}_Y(A^T\nabla\omega_\lambda)$

と書くことができる。これは均質化した係数行列の転置と、係数行列の転置を均質化したものが等しいことを表している。つまり、

${A^0}^T={A^T}^0$

証明

行列を

$B\lambda=\cal{M}_Y(A^T\nabla\omega_\lambda)\;\;\forall \lambda\in R^N$

を満たす行列であるとしたときに、

$B^T\lambda=A^0\lambda=\cal{M}_Y(A\nabla\hat{\omega}_\lambda)\;\;\forall \lambda\in R^N$

を示せばよい。 $\mu\$ を R^N の任意の要素であるとする。

$(B^T\lambda)\cdot\mu=(B\mu)\cdot\lambda=\frac{1}{|Y|}\{\int_Y A^T\nabla\omega_\mu dy\}\cdot\lambda\\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A^T\nabla\omega_\mu)\cdot\lambda dy \;=\; \frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\nabla\omega_\mu dy\\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\nabla$\mu\cdot x-\chi_\mu$ dy \;=\; \frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\mu-(A\lambda)\cdot\nabla\chi_\mu dy\\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\mu-(A\hat{\chi}_\lambda)\cdot\nabla\chi_\mu dy\;\;(\chi_\lambda:Y-periodic) \\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\mu-(A^T\nabla\chi_\mu)\cdot\nabla\hat{\chi}_\lambda dy \\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\mu-(A^T\mu)\cdot\nabla\hat{\chi}_\lambda dy\;\;(\hat{\chi}_\lambda:Y-periodic)\\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\int_Y (A\lambda)\cdot\mu-(A\nabla\hat{\chi}_\lambda)\cdot\mu dy \;=\; \frac{1}{|Y|}\int_Y \{A\nabla$x\cdot\lambda-\hat{\chi}_\lambda$\}\cdot\mu dy \\\;\;\;\;=\frac{1}{|Y|}\{\int_Y $A\nabla\hat{\omega}_\lambda$dy\}\cdot \mu \;=\; (A^0\lambda)\cdot\mu$

任意の $\mu\in R^N$ について

$(B^T\lambda)\cdot\mu=(A^0\lambda)\cdot\mu$

が成り立つので B^T=A^0 が成り立つ。□

漸近展開の方法

上の均質化法の式は漸近展開(asymptotic expansion)を用いることで比較的簡単に確認できる。

変位の漸近展開

次のように漸近展開できるとする。

$u_{\epsilon}(x)=u_0(x,\frac{x}{\epsilon})+\epsilon u_1(x,\frac{x}{\epsilon})+\epsilon^2 u_2(x,\frac{x}{\epsilon})+\ldots\\\qquad\qquad=\sum^{+\infty}_{i=0}\epsilon^i u_i(x,\frac{x}{\epsilon})$

u_i の微分は次のようになる

$\nabla u_i(x,\frac{x}{\epsilon})=\nabla_x u_i(x,\frac{x}{\epsilon})+\frac{1}{\epsilon}\nabla_y u_i(x,\frac{x}{\epsilon})$

但し、 $\nabla_x$ はマクロスケール、 $\nabla_y$ はミクロスケールの微分を表す。

これを上式に代入すると

$\nabla u_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\epsilon}\nabla_y u_0(x,\frac{x}{\epsilon})+\sum^{+\infty}_{i=0}\epsilon_i(\nabla_y u_{i+1} + \nabla_x u_i)(x,\frac{x}{\epsilon})$

となる。さて、これをポアソン方程式に代入してみよう

$-\frac{1}{\epsilon^2}\[\nabla_y\cdot $A\nabla_y u_0$\](x,\frac{x}{\epsilon})\\ -\frac{1}{\epsilon} \[\nabla_y\cdot $A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1$+\nabla_x\cdot$A\nabla_y u_0$\] (x,\frac{x}{\epsilon})\\ -\[\nabla_x\cdot(A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1)+\nabla_y\cdot(A\nabla_x u_1+A\nabla_y u_2)\](x,\frac{x}{\epsilon})\\ -\sum^{\infty}_{i=1}\epsilon^i\[\nabla_x\cdot(A\nabla_x u_i+A\nabla_y u_{i+1})+\nabla_y\cdot(A\nabla_x u_{i+1}+A\nabla_y u_{i+2})\](x,\frac{x}{\epsilon})\\=f(x)$

さて、漸近展開法ではパラメータ $\epsilon$ に関する項について右辺左辺が等しいという条件を使って $u_0,u_1,\ldots$ を求める。実際これらは以下のようになる。

ε^-2の項

$\epsilon^{-2}$ の項に着目しよう。

$-\nabla_y\cdot$A(y)\nabla_y u_0(x,y)$=0$

これはについてのみの方程式である。これは u_0 がによらない関数であること

u_0(x,y)=u_0(x)

を示している。よって $\nabla_y u_0=0$

つまり u_0 は周期的な変形をしない、滑らかな関数である。

ε^-1の項

$\epsilon^{-1}$ の項に着目しよう。

$\nabla_y u_0=0$ を代入すると、

$-\nabla_y\cdot $A\nabla_y u_1$=\nabla_y\cdot$A\nabla_x u_0$$

となる。これは、ミクロの周期変形 u_1 は、 $\nabla_x u_0$ と線形な関係にあることをを表している。

ここで、一次独立なベクトル $\lambda_i$ に対応する周期変形モードを $\hat{\chi}_i$ とする。つまり、

$\nabla_y\cdot $A\nabla_y \hat{\chi}_i$=\nabla_y\cdot$A\lambda_i$$

$\nabla_x u_0=\alpha_i\lambda_i$

と分解するとき、

$u_1=\alpha_i \hat{\chi}_i$ と表される。

$\nabla_x u_0$ から u_1 への変換行列を $\hat{\chi}$ と書くことにする。つまり、

$u_1=\hat{\chi}(\nabla_x u_0)$

変形モード $\lambda_i$ として正規直交基底 e_i を用いると、

$\hat{\chi}=\[\hat{\chi}_1,\hat{\chi}_2,\hat{\chi}_3\]$

と簡単に書ける

ε^0の項

$\epsilon^{-1}$ の項つまり定数項に着目しよう。

$-\nabla_y\cdot(A\nabla_y u_2)=\nabla_x\cdot(A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1)+\nabla_y\cdot(A\nabla_x u_1)+f(x)$

さて、上の式をユニットセルで積分して平均する。ここで、 u_1,u_2 は周期的であるから、

$\int_Y \nabla_y\cdot(A\nabla_y u_1)dy=\int_{\partial Y} \b{n}_Y\cdot(A\nabla_y u_1)dS=0$

$\int_Y \nabla_y\cdot(A\nabla_y u_2)dy=\int_{\partial Y} \b{n}_Y\cdot(A\nabla_y u_2)dS=0$

が成り立つことに注意しよう。このとき、

$\frac{1}{|Y|}\int_Y -\nabla_y\cdot(A\nabla_y u_2) dy=\frac{1}{|Y|}\int_Y \nabla_x\cdot(A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1)+\nabla_y\cdot(A\nabla_x u_1)+f(x)dy\\\Leftrightarrow-\frac{1}{|Y|}\int_Y \nabla_x\cdot(A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1)dy=\frac{1}{|Y|}\int_Yf(x)dy\\\Leftrightarrow\nabla_x\cdot\left\{\frac{1}{|Y|}\int_Y A\nabla_x u_0+A\nabla_y u_1dy\right\}=f(x)\\\Leftrightarrow\nabla_x\cdot\left\{\frac{1}{|Y|}\int_Y A(I+\nabla_y\hat{\chi})dy(\nabla_x u_0)\right\}=f(x)$

ここで、

$A^0=\frac{1}{|Y|}\int_Y A(I+\nabla_y\hat{\chi})dy$

とすると、最終的に

$\nabla_x\cdot (A^0\nabla_x u_0)=f(x)$

を解くことでマクロ変形 u^0 が求まる。

均質化法の数学的準備

均質化の正当性について示すには数学、特に関数解析の知識が必要である。特に重要な式を以下に挙げる。

強い収束

ある列 $x_n\in E$ がに強く収束するとは

$||x_n-x||_E\rightarrow 0$

であることをいう。

弱い収束

ある列 ${x_n}\in E$ は次のようなときに弱く収束する(Converge Weakly)と言われる。

$\forall x'\in E', \qquad\qquad <x',x_n>_{E',E}\rightarrow<x',x>_{E',E}$

このような場合次のように書かれる

$x_n\rightarrow x\qquad\qquad weakly\quad in \quad E$

このような弱い収束は平均的な意味での収束という意味がある。

強い収束の方が弱い収束よりも、強い意味での収束

強く収束するなら、弱く収束する。なぜなら、

$|<x',x_n>_{E',E}-<x',x>_{E',E}|=|<x',x_n-x>_{E',E}|\le ||x'||_E'||x_n-x||_E$

であるかあら、強く収束する場合 ||x_n-x||_E は任意に小さくできるので、 $<x',x_n>_{E',E}$ を $<x',x>_{E',E}$ に任意に近づけることができるからである。

弱収束するものと強収束するものの内積は、それぞれの収束先の積に収束する

点列 $\{x_n\}\sub E$ 、 $\{y_n\}\sub E'$ がそれぞれ次のように収束するとする。

$\{\begin{array}{ll}x_n\rightarrow x&weakly\;in\;E\\y_n\rightarrow y&strongly\;in\;E'\end{array}$

このとき、

$\lim_{n\rightarrow\infty}|<x_n,y_n>_{E,E'}-<x,y>_{E,E'}|\\\;\;=\lim_{n\rightarrow\infty}|<y_n-y,x_n>_{E,E'}+<y,x_n-x>_{E,E'}|\\\;\;\le\lim_{n\rightarrow\infty}||y_n-y||_{E'}||x_n||_E+\lim_{n\rightarrow\infty}|<y,x_n-x>|\\\;\;=0$

よって

$\lim_{n\rightarrow\infty}<x_n,y_n>_{E,E'}\rightarrow <x,y>_{E,E'}$

となる。

H^1空間での弱収束はL^2空間での強収束である。

ソボレフの埋蔵定理より H^1 空間は L^2 空間にコンパクトに埋め込まれる。よって H^1 空間での弱収束する列は、 L^2 空間での強収束する。

$x_n\rightarrow x\;weakly\;in\;H^1\;\;\Rightarrow\;\;x_n\rightarrow x\;strongly\;in\;L^2$

激しく振動する周期的関数の弱収束について

が周期的な関数 $f\in L^2(Y)$ であるとする。次のようにをパラメータ $\epsilon$ を使ってスケーリングしたものを $f^\epsilon$ とする。

$f_{\epsilon}(x)=f(\frac{x}{\epsilon})\qquad a.e.\quad on\;R^N$

このとき $\epsilon\rightarrow0$ で

$f_{\epsilon}\rightarrow\cal{M}_Y(f)=\frac{1}{|Y|}\int_Yf(y)dy$ weakly in $L^2(\omega)$

となる。

有界列の弱収束について(Eberlein-Smuljan)

が再帰的で $\{x_n\}$ がの中の有界な列であるとする。

ある列 $\{x_n\}$ の部分列 $\{x_n'\}$ と $x\in E$ が存在し、

$\lim_{k\rightarrow \infty} x_{n}'=x \qquad\qquad weakly\quad in \quad E$

となる。またが一意に定まるとき、

$\lim_{k\rightarrow \infty} x_{n}=x \qquad\qquad weakly\quad in \quad E$

となる。

証明は[Functional Analysis, Kosaku Yosida p141]を参考されたい。

数学的な理論

スケーリングされたユニットセルの変形の収束

さて、 $\epsilon$ でスケーリングしたユニットセルの $\lambda$ に対する応答変位を $\omega^\epsilon_\lambda$ とする。

$\omega^{\epsilon}_{\lambda}(x)=\epsilon\omega_\lambda$\frac{x}{\epsilon}$=\lambda\cdot x-\epsilon \chi_\lambda$\frac{x}{\epsilon}$$

$\chi_{\lambda}$ は周期的で、平均が０であるからすぐに次が満たされる

$\omega^{\epsilon}_{\lambda}\rightarrow \lambda\cdot x\quad weakly\quad in\quad L^2(\Omega)$

$(\nabla_x\omega^{\epsilon}_{\lambda})(x)=\lambda-\nabla_y\chi_\lambda\(\frac {x}{\epsilon})$

$\nabla_x\omega^{\epsilon}_{\lambda}\rightarrow\cal{M}_Y$\lambda-\nabla_y\chi_\lambda$=\lambda-\cal{M}_Y$\nabla_y\chi_\lambda$\quad weakly\quad in\quad L^2(\Omega)$

グリーン・ガウスの定理からが成り立つ。

$\int_Y\nabla_y\chi_\lambda(y)dy=\int_{\partial Y} \chi_\lambda\cdot n ds_y=0\;\;(\chi_\lambda:Y-periodic)$

よって

$\cal{M}_Y$\nabla_y\chi_\lambda$=0$

結局上から

$\nabla_x\omega^{\epsilon}_{\lambda}\rightarrow\lambda\quad weakly\quad in\quad L^2(\Omega)$

が成り立つ。つまり、

$\omega^{\epsilon}_{\lambda}\rightarrow\lambda\cdot x\quad weakly\quad in\quad H^1_0(\Omega)$

ソボレフの埋蔵定理から、 L^2 空間は H^1 空間でコンパクトである。よって、

$\omega^{\epsilon}_{\lambda}\rightarrow\lambda\cdot x\quad strongly\quad in\quad L^2(\Omega)$

が成り立つ。

Tartarの定理

$\{\begin{array}{ll}u^\epsilon\rightarrow u^0&\;\;weakly\;in\;H^1_0(\Omega)\\A^\epsilon\nabla u^\epsilon\rightarrow A^0\nabla u^0&\;\;weakly\;in\;(L^2(\Omega))^N\end{array}$

但し、 u^0 は

$\{\begin{array}{ll}-\nabla\cdot(A^0 \nabla u^0)=f&\;in\;\Omega\\u^0=0&\;in\;\partial\Omega\end{array}$

の解で、正定値対称の行列 A^0 は次のように与えられる。

${A^0}\lambda=\cal{M}(A\nabla\hat{\omega}_\lambda)\;\;\lambda\in R^N$

Tartarの定理の証明

係数行列の転置に関する式から、

${A^0}\lambda=\cal{M}(A\nabla\hat{\omega}_\lambda)\;\;\lambda\in R^N$

と

${A^0}^T\lambda=\cal{M}_Y(A^T\nabla\omega_\lambda)\;\;\lambda\in R^N$

は等価であった。

下式を示せば上式を示したことになる。ここでは転置に関する均質化である下式を示す。証明は[Introduction to Homogenization, Doina Cioranescu and Patrizia Donato, chap8]を大幅に参考にした。

変位と応力の収束

$\int_{\Omega}A^{\epsilon}\nabla u^{\epsilon}\nabla v dV=<f,v>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}$

$A^{\epsilon}$ は楕円的。つまり $A^{\epsilon}\in M(\alpha,\beta,\Omega)$

$|A^{\epsilon}\lambda|\le \beta |\lambda|$

$\alpha|\lambda|^2\le|\lambda^T A^{\epsilon}\lambda|$

$||u^{\epsilon}||_{H^1_0(\Omega)}\le\frac{1}{\alpha}||f||_{H^{-1}(\Omega)$

よって $||u^{\epsilon}||$ は有界列であることがわかる。

ある $\{u^{\epsilon}\}$ の部分列 $\{u^{\epsilon}'\}$ と $u^0\in H^1_0(\Omega)$ が存在して

$u^{\epsilon}'\rightarrow u^0\quad\quad weakly\quad in\quad H^1_0(\Omega)$

となる。また、ソボレフの埋蔵定理より

$u^{\epsilon}'\rightarrow u^0\quad\quad strongly\quad in\quad L^2(\Omega)$

となる。ここで $\xi^{\epsilon}$ を次のように定義しよう。

$\xi^{\epsilon}=(\xi^{\epsilon}_1,\ldots,\xi^{\epsilon}_N)=$a^{\epsilon}_{1j}\frac{\partial u^{\epsilon}}{\partial x_j},\ldots,a^{\epsilon}_{Nj}\frac{\partial u^{\epsilon}}{\partial x_j}$=A^{\epsilon}\nabla u^{\epsilon}$

$\int_{\Omega}\xi^{\epsilon}\nabla u dV=<f,v>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall v\in H^1_0$

$||\xi^{\epsilon}||_{L^2(\Omega)}\le\frac{\beta}{\alpha}||f||_{H^{-1}(\Omega)}$

よってある部分列 $\{\xi^{\epsilon}'\}$ と $\xi^0\in L^2(\Omega)$ が存在して

${\xi}^{\epsilon}'\rightarrow {\xi}^0\quad\quad weakly\quad in\quad L^2(\Omega)^N$

となる。弱収束の定義から

$\int_{\Omega}\xi^0\cdot\nabla u dV=<f,v>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall v\in H^1_0$

を満たすこれは

$-div \xi^0=f\quad in\quad\Omega$

を満たすことを意味している。

特性変形によって発生する周期的応力の収束

$\eta^\epsilon_\lambda(x)=\frac{1}{\epsilon}\[A^T$\frac{x}{\epsilon}$$\nabla_y\(\epsilon \omega_\lambda $\)$\frac{x}{\epsilon}$\]=(A^T\nabla_y \omega_\lambda)$\frac{x}{\epsilon}$$

が周期的で $A^T\nabla_y\omega_\lambda$ が周期的だから細かく振動する周期関数の弱収束に関する定理を使って

$\eta^\epsilon_\lambda\rightarrow\cal{M}_Y(A^T\nabla\omega_\lambda)={A^T}^0\lambda\qquad weakly\quad in\quad L^2(\Omega)^N$

ユニットセルの変形によって発生する周期的応力の釣り合い

$\psi\in D(\Omega)$

$\psi^\epsilon(y)=\psi(\epsilon y)$

$\int_{R^N} (A^T\nabla\omega_\lambda)(y)\nabla \psi^\epsilon(y)dy=0$

さて、 $x=\epsilon y$ をここに代入して、

$\int_\Omega (A^T\nabla\omega_\lambda)(\frac{x}{\epsilon})\nabla \psi(x)dy=0,\;\forall\psi\in D(\Omega)$

$\int_\Omega \eta^\epsilon_\lambda(x)\nabla \psi(x)dy=0\;\;\forall\psi\in D(\Omega)$

が成り立つ。

Tartarの方法

応力 $\xi^\epsilon$ の弱形式の平衡方程式のテスト関数に $v=\omega^\epsilon_\lambda\psi$ を代入して、

$\int_\Omega$\xi^\epsilon\cdot\nabla\omega^\epsilon_\lambda$\psi dx+\int_\Omega(\xi^\epsilon\cdot\nabla\psi)\omega^\epsilon_\lambda dx=<f,\psi\omega^\epsilon_\lambda>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}$

また、特性変形によって発生する周期的応力 $\eta^\epsilon_\lambda$ の弱形式による釣り合いの式のテスト関数 $\psi$ に $\psi=u^\epsilon_\lambda\psi$ を代入して

$\int_\Omega$\eta^\epsilon\cdot\nabla u^\epsilon_\lambda$\psi dx+\int_\Omega$\eta^\epsilon_\lambda\cdot\nabla\psi$ u^\epsilon_\lambda dx=0$

が成り立つ。応力と特性変形の勾配の内積は、特性変形による応力と変形の勾配と等しい。

$\xi^\epsilon\cdot\nabla\omega^\epsilon_\lambda=A^\epsilon\nabla u^\epsilon\cdot\nabla\omega^\epsilon_\lambda=A^\epsilon^T\nabla\omega^\epsilon_\lambda\cdot\nabla u^\epsilon=\eta^\epsilon_\lambda\cdot\nabla u^\epsilon$

上式から下式を引いて次を得る。

$\int_\Omega$\xi^\epsilon\cdot\nabla\psi$\omega^\epsilon_\lambda dx-\int_\Omega$\eta^\epsilon_\lambda\cdot\nabla\psi$ u^\epsilon_\lambda dx=<f,\psi\omega^\epsilon_\lambda>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}$

上の定理より強収束するものと弱収束するものの内積は弱収束するのであった。

ここで、 $\xi^\epsilon$ は L^2 で弱収束、 $\omega^\epsilon_\lambda$ は L^2 で強収束なので以下が成り立つ。

$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_\Omega$\xi^\epsilon\cdot\nabla\psi$\omega^\epsilon_\lambda dx = \int_\Omega$\xi^0\cdot\nabla\psi$(\lambda x) dx\;\;\forall\psi\in D(\Omega)$

同様にして、 $\eta^\epsilon$ は L^2 で弱収束、 $u^\epsilon$ は L^2 で強収束なので以下が成り立つ。

$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_\Omega$\eta^\epsilon_\lambda\cdot\nabla\psi$u^\epsilon dx = \int_\Omega${A^T}^0\lambda\cdot\nabla\psi$ u^0 dx\;\;\forall\psi\in D(\Omega)$

これらを上の式に代入すると次を得る。

$\int_\Omega \xi^0\cdot\nabla\psi(\lambda x) dx - \int_\Omega${A^T}^0\lambda\cdot\nabla\psi$ u^0 dx = <f,(\lambda\cdot x)\psi>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall\psi\in D(\Omega)$

書き換えると

$\int_\Omega \xi^0\cdot\nabla[(\lambda x)\psi] dx - \int_\Omega $\xi^0\cdot\lambda$ \psi dx - \int_\Omega${A^T}^0\lambda\cdot\nabla\psi$ u^0 dx = <f,(\lambda\cdot x)\psi>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall\psi\in D(\Omega)$

テスト関数に $(\lambda\cdot x)\psi$ を代入して

$\int_\Omega \xi^0\cdot\nabla[(\lambda x)\psi] dx = <f,(\lambda\cdot x)\psi>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall\psi\in D(\Omega)$

これを上に代入すると

$\int_\Omega$\xi^0\cdot\lambda$\psi dx = - \int_\Omega${A^T}^0\lambda\cdot\nabla\psi$ u^0 dx\;\;\forall\psi\in D(\Omega)$

となる。ここで、 ${A^T}^0\lambda\cdot\nabla\psi$ は定数であったので、

$\int_\Omega$\xi^0\cdot\lambda$\psi dx = \int_\Omega${A^T}^0\lambda\cdot\nabla u^0$ \psi dx\;\;\forall\psi\in D(\Omega)$

が成り立つ。以上から

$\xi^0\cdot\lambda={A^T}^0\lambda\cdot\nabla u^0\;\;\forall \lambda\in R^N$

が成り立つことがわかる。

均質化された係数行列と解の関係

上式の $\lambda$ は任意であったので、 $\lambda=\nabla u^0$ を代入して領域 $\Omega$ で積分すると、

$\int_\Omega({A^T}^0\nabla u^0)\cdot\nabla u^0 dx=\int_\Omega\xi^0\cdot\nabla u^0 dx=<f,u^0>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}$

が成り立つ。Lax-Milgramの定理から u^0 は

$\{\begin{array}{ll}-\nabla\cdot(A^0 \nabla u^0)=f&\;in\;\Omega\\u^0=0&\;in\;\partial\Omega\end{array}$

の解で、一意に存在することが分かる。よって題意は証明された□

全体のエネルギーの収束

全体の歪エネルギー $E^\epsilon$ は

$E^\epsilon(u^\epsilon)=\int_\Omega (A^\epsilon\nabla u^\epsilon)\cdot\nabla u^\epsilon dx$

のように書くことができる $\epsilon\rightarrow 0$ のとき $E^\epsilon$ は次のような E^0 に収束する。

$E^\epsilon(u^\epsilon)\rightarrow E^0(u^0)=\int_\Omega (A^0\nabla u^0)\cdot\nabla u^0 dx$

証明

$\int_\Omega (A^\epsilon \nabla u^\epsilon)\cdot\nabla u^\epsilon dx = <f,u^\epsilon>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}\;\;\forall\psi\in D(\Omega)$

$u^\epsilon$ は u^0 に収束するので、

$<f,u^0>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}<f,u^\epsilon>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_\Omega (A^\epsilon \nabla u^\epsilon)\cdot\nabla u^\epsilon dx=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}E^\epsilon(u^\epsilon)$

となる。一方

$<f,u^0>_{H^{-1}(\Omega),H^1_0(\Omega)}=\int_\Omega (A^0\nabla u^0)\cdot\nabla u^0 dx=E^0(u^0)$

であるから、

$E^\epsilon(u^\epsilon)\rightarrow E^0(u^0)$

が成り立つ。

均質化法入門- 計算力学レクチャーシリーズ-	寺田賢二郎著
An Introduction to Homogenization	Doina Cioranescu, Patrizia Donato 著
Shape Optimization by the Homogenization Method	Gregoire Allaire 著
Functional Analysis	Kosaku Yosida 著

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