Spectrum and Eigenvalue

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スペクトルと固有値

Last Update:2008年01月26日

有界線形作用素のスペクトル

レゾルベント集合: $A\in BL(E,E)$ に対して、次の(I)(II)の性質を持つ $\lambda\in \cal{C}$ の集合をレゾルベント集合といい、 $\rho(A)$ と表す。
(I) $A-\lambda Id$ が可逆
(II) $(A-\lambda Id)^{-1}$ が有界

スペクトル: $\cal{C}$ のうちレゾルベント集合に入らないものをスペクトルといい、 $\sigma(A)$ と表す。

固有値(eigenvalue): 線形作用素 $A:E\rightarrow E$ について、次のような、 $\lambda\in \cal{C}$ と $f\in E,f\ne 0$ が存在するとき、 $\lambda$ はの固有値と呼ばれる
$A(f)=\lambda f$
また、このようなは固有ベクトル、固有関数などと呼ばれる。

スペクトルと固有値

がノルム空間とし、作用素 $A:E\rightarrow E$ が線形であるとすると、全ての固有値はスペクトル $\sigma(A)$ に含まれる。

有限次元空間における固有値とスペクトル

が有限次元ノルム空間であり、作用素 $A:E\rightarrow E$ が線形だとすると、スペクトル $\sigma(A)$ と固有値の集合は等しい。

スペクトルは閉空間

がバナッハ空間であり、 $A\in BL(E,E)$ であるとする。

レゾンベルト集合 $\rho(A)$ が開空間であることを示す。

$\lambda\in\rho(A)$ として、全ての

$|\lambda-\mu|<\frac{1}{||(A-\lambda Id)^{-1}||}$

を満たす $\mu\in C$ は、 $\mu\in\rho(A)$ であることを示す。

バナッハ空間においては $\mu\in\rho(A)$ であるためには、 $A-\mu Id$ が可逆であることを示せばよい。

$A-\mu Id=A-\lambda Id-(\mu-\lambda)Id=$Id-(\mu-\lambda)(A-\lambda Id)^{-1}$(A-\lambda Id)$

ここで、 $B=(\mu-\lambda)(A-\lambda Id)^{-1}$ とおく。

$||B||=|\mu-\lambda|\cdot||(A-\lambda Id)^{-1}||<1$

よって $Id-(\mu-\lambda)(A-\lambda Id)^{-1}=Id-B$ は可逆。 $A-\lambda Id$ は可逆であったから、 $A-\mu Id$ も可逆であり、

$(A-\mu Id)^{-1}=(A-\lambda Id)^{-1}(Id-B)^{-1}$

が成り立つ。よって補空間が開空間であるからスペクトルは閉空間である。□

スペクトルは半径が作用素ノルムの閉球の中にある。

$\mu$ がスペクトルなら、 $|\mu|\le ||A||$ であることを示すためには

$|\lambda|>||A||$ ならば $\lambda\in\rho(A)$ であることを示せばよい。つまり $A-\lambda Id$ が可逆であることを示せばよい。 $B=\frac{1}{\lambda}A$ とおくと、

$A-\lambda Id=-\lambda(Id-\frac{1}{\lambda}A)=-\lambda(Id-B)$

$||B||=\frac{||A||}{|\lambda|}<1$ より Id-B は可逆である。よって $A-\lambda Id$ は可逆で

$(A-\lambda Id)^{-1}=-\frac{1}{\lambda}(Id-\frac{1}{\lambda}A)^{-1}$

となる。以上から $\lambda\in \rho(A)$ となり、題意は証明された。□

自己共役演算子のノルム

もし、 $A:H\rightarrow H$ が自己共役ならば、

$||A||=\sup_{||f||=1}|(Af,f)|$

となる。

証明

まず、 $||A||\ge\sup_{||f||=1}|(Af,f)|$ を示し、次に $||A||\le\sup_{||f||=1}|(Af,f)|$ を示すことで証明する。

||f||=1 のとき、 $|(Af,f)|\le||Af||\cdot||f||\le||A||\cdot||f||^2=||A||$

よって $||A||\ge\sup_{||f||=1}|(Af,f)|$ は明らか

次に、 $M=\sup_{||f||=1}|(Af,f)|$ とおき、 $\forall f\in H,||f||=1$ に対して $||A(f)||\le M$ を示す。

ここで、 $g=\frac{A(f)}{||A(f)||}$ とおくと、

$||A(f)||=\frac{1}{||A(f)||} ||A(f)||^2=\frac{1}{||A(f)||}(Af,Af)=(Af,\frac{A(f)}{||A(f)||})=(Af,g)$

$||A(f)||=\frac{1}{||A(f)||}(f,AAf)=(f,A\frac{A(f)}{||A(f)||})=(f,Ag)$

さて、 $a=\frac{f+g}{2}$ 、 $d=\frac{f-g}{2}$ と置く。 f=a+d 、 g=a-d を上に代入して

$||A(f)||=(Af,g)=(A\{a+d\},\{a-d\})=(Aa,a)-(Ad,d)+(Ad,a)-(Aa,d)$

$||A(f)||=(f,Ag)=(\{a+d\},A\{a-d\})=(Aa,a)-(Ad,d)-(Ad,a)+(Aa,d)$

よって、上二式の和を計算して、

$||A(f)||=\frac{1}{2}\{(Af,g)+(f,Ag)\}=(Aa,a)-(Ad,d)\le M\{||a||^2+||b||^2\}$

が成り立つ。中線定理より、

$||\frac{f+g}{2}||^2+||\frac{f-g}{2}||^2=\frac{1}{2}\{||f||^2+||g||^2\}$

||a||^2+||b||^2=1

これを上に代入すると

$||A(f)||\le M=\sup_{||f||=1}|(Af,f)|$

がいえる。

以上から

$||A||=\sup_{||f||=1}|(Af,f)|$

となる。□

近似固有値: ヒルベルト空間上の有界線形作用素がなんらかの複素数 $\lambda\in C$ と規格化された点列 $(x_n)\in H,\quad ||x_n||=1$ に対して
$\lim_{n\rightarrow\infty}||(A-\lambda I)x_n||=0$
となるとき $\lambda$ をの近似固有値という

自己共役作用素の近似固有値

自己共役作用素は $\lambda=||A||$ か $\lambda=-||A||$ の近似固有値を持つ。

証明

$A:H\rightarrow H$ として、ある列 $f_n\in H,\quad ||f||=1$ が存在して、 $\lambda=||A||$ か $\lambda=-||A||$ について、

$\lim_{n\rightarrow\infty}(A(f_n)-\lambda f_n)=0$

であることを示せばよい。

前の定理より、 $||A||=\sup_{||f||=1}|(Af,f)|$ であったから、ある列 $f_n\in H,\quad ||f_n||=1$ が存在して、 $\lim_{n\rightarrow\infty}|(Af_n,f_n)|=||A||$ とすることができる。

$||Af_n-\lambda f_n||^2=(Af_n-\lambda f_n,Af_n-\lambda f_n)\\\qquad\qquad\qquad=||A f_n||^2+\lambda^2||f_n||^2-2\lambda(A f_n,f_n)\\\qquad\qquad\qquad\le||A||^2+\lambda^2-2\lambda(A f_n,f_n)$

ここで $\lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}(Af_n,f_n)=+||A||\quad or\quad -||A||$ とおけば、右辺は幾らでも小さくできるので $||Af_n-\lambda f_n||\rightarrow = 0$ となる。

よって題意は証明された□

完全連続な自己共役作用素のスペクトル

完全連続な自己共役作用素の固有値

完全連続な自己共役作用素 $A:H\rightarrow H$ は $\lambda=||A||$ か $\lambda=-||A||$ の固有値を持つ。

証明

前の定理から自己共役作用素は $\lambda=||A||$ か $\lambda=-||A||$ の近似固有値を持つことが分かる。つまり、ある $f_n\in H,\quad ||f_n||=1$ が存在して、

$\lim_{n\rightarrow\infty}(Af_n-\lambda f_n)=0$

となる。が完全連続作用素であるので、前の定理より f_n は A f_n が収束する部分列 $f_{n_k}$ を含んでいる。さて、ここで $f_{n_k}$ を f_n となるように選びなおす。また、 A f_n が $g\in H$ に収束するとする。

$||\lambda f_n-g||=||\lambda f_n-A f_n+A f_n-g||\le ||\lambda f_n-A f_n||+||A f_n-g||$

であるから

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=\frac{g}{\lambda}$

となる。

$||\lambda g-A g||=\lim_{n\rightarrow\infty}||\lambda A f_n- A g||\le |\lambda|\cdot||A||\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}||f_n-\frac{g}{\lambda}||=0$

よって $A g=\lambda g$ となることから、 $\lambda$ は固有値となる。□

スペクトル分解

をヒルベルト空間として、 $A:H\rightarrow H$ を完全連続な自己共役作用素とする。この時、次のような、１次元部分空間への正射影演算子と実数が存在する。

$P_i:H\rightarrow H,\quad E_i=\cal{R}(P_i):(1-dim)$
$\lambda_i\in \cal{R},\quad \lambda_i\ne 0,\quad |\lambda_1|\ge|\lambda_2|\ge|\lambda_3|\ge\ldots$

ここで、は有限な場合も無限な場合もある。つまり $i=1,2,\ldots$ か $i\in N$ である。

$A=\sum \lambda_i P_i$
$P_iP_j=\sum \delta_{ij} P_i$

が成り立つ。さらに $\lambda$ が無限に存在する場合は $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$ となる。

上と別の定義

をヒルベルト空間として、 $A:H\rightarrow H$ を完全連続な自己共役作用素とすると、固有値 $\lambda_i$ と正規完全直交系 $\{g_i\}$ が存在して

$A(f)=\sum_i\lambda_i(f,g_i)g_i$

となる。さらに $\lambda$ が無限に存在する場合は $\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_n=0$ となる。

完全連続自己共役作用素に対する交代定理

をヒルベルト空間として、 $A:H\rightarrow H$ を完全連続な自己共役作用素とする。次のような、を固定してを求めるような方程式を考える

$(A-\lambda Id)f=g$

(a)もし、 $\lambda$ がの固有値でないなら、全ての $g\in H$ に対して唯一の解が存在して、次のように与えられる。

$f=\sum^{\infty}_{i=1}(\lambda_i-\lambda)^{-1}(g,g_i)g_i$

但し、 A(f) は、最大正規直交系 ${g_i}$ を使って、次のように与えられる。

$A(f)=\sum_i\lambda_i^{\infty}(f,g_i)g_i$

また、はに対して連続に与えられる。

(b)もし、 $\lambda$ がの固有値なら、 $g\bot \cal{N}(A-\lambda Id)$ の場合に限り、解は次のように与えられる。

$f=f_0+\sum^r_{i=1}\alpha_i f_i$

ここで f_0 は任意の解で、 $f_1,f_2,\ldots,f_r$ は固有値 $\lambda$ に対応する固有値空間 $E_\lambda$ の基底である。

Online Mathematics Texts -オンライン数学テキスト-: http://homepage2.nifty.com/masema/index.html

解析についてのwebノート: http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm

線形作用素: http://forum.shimozono.net/room1/package/hilbert-space3.htm

有界線形汎関数: http://www.fbc.keio.ac.jp/~hkomiya/education/lecture/normed-space-2005-3.pdf

線形代数: http://schubert.cs.shinshu-u.ac.jp/~miyao/UD/Subjects/Linear/index.html

Book

Functional Analysis	Kosaku Yosida 著
Functional Analysis in Applied Mathematics and Engineering	Michael Pedersen 著
ヒルベルト空間論	保江邦夫著

Made by Nobuyuki UMETANI 梅谷　信行

n.umetani@gmail.com

Spectrum and Eigenvalue

目次

有界線形作用素のスペクトル

スペクトルと固有値

有限次元空間における固有値とスペクトル

スペクトルは閉空間

スペクトルは半径が作用素ノルムの閉球の中にある。

自己共役演算子のノルム

証明

自己共役作用素の近似固有値

証明

完全連続な自己共役作用素のスペクトル

完全連続な自己共役作用素の固有値

証明

スペクトル分解

上と別の定義

完全連続自己共役作用素に対する交代定理

参考にしたもの

Wikipedia

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