Mathematical basis for FEM

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有限要素法の数学的基礎

Last Update:2008年01月26日

目次
変分問題
Ritz-Galerkin法
- Ritz-Galerkin法の解が正解の離散空間へのエネルギーノルムによる正射影であるという性質
- &tag(Céa);の補題
一般的な解の一意存在性とその安定性
- inf-sup条件
制約条件つき変分問題
- 制約条件つき変分問題の解の一意存在性と安定性について
参考にしたもの
- Links
- Books

変分問題

特徴化定理(Characterrization Theorem)

を線形空間として、

$a:\quad V\times V\rightarrow \Re$

正定値双線形関数、つまり $a(v,v)\gt 0 \quad \forall v\in V\quad v\ne 0$ が成り立つとする。

またを線形関数とする

$l:\quad V\rightarrow \Re$

このとき次の関数を次のように定める

$J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-<l,v>$

（は関数なので l(v) と書いてもよいのだが、線形性を強調するためにベクトル $l\in V'$ を用いて <l,v> のように書く）

$u \in V$ とすると、この関数がにおいて最小値を取るための必要十分条件は次が成り立つことである。

$a(u,v)=<l,v> \quad \forall v\in V \qquad\qquad (*)$

証明

$u,v\in V$ また $t\in \Re$ に対して以下が成り立つ。

$J(u+tv)=\frac{1}{2}a(u+tv,u+tv)-<l,u+tv>\\ \qquad\qquad=J(u)+t\{a(u,v)-<l,v>\}+\frac{1}{2}t^2a(v,v) \qquad\qquad (**)$

もしもが(*)を満たす場合、第二項が０となる。ここでｔ＝１とおくと(**)は次のようになる

$J(u+v)=J(u)+\frac{1}{2}a(u,v)\quad \forall v\in V\\ \qquad\qquad \gt J(u) \qquad \forall v\in V v\ne 0$

よって(*)が成り立てば、は唯一において最小値をとることがわかる。

反対にがにおいて最小値を取る場合、(**)のt=0における、ｔの微分が全ての $\forall v\in V$ に対して０でなければならないから、

$\left.\frac{\partial J(u+tv)}{\partial t} \right|_{t=0}=a(u,v)-<l,v>=0 \quad \forall v\in V$

つまり(*)が成り立つ。

The Lax-Milgram Theorem(凸空間に限る)による変分問題の解の存在と一意性

を凸で閉じたHirbert空間とし、 $a:\quad H \times H\right\Re$ を楕円双線形関数とする。つまりは有界かつ $a(v,v)\ge\alpha||v||^2\quad \forall v\in H$ が成り立つとする。このとき任意の関数 $l\in H'$ について次の変分問題はの中に解を唯一持つ
$\min_{v\in V} J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-<l,v>$

証明

次のようには下に有界である。

$J(v)\ge\frac{1}{2}\alpha||v||^2-||l||\quad||v||=\frac{1}{2\alpha}(\alpha||v||-||l||)^2-\frac{||l||^2}{2\alpha}\ge-\frac{||l||^2}{2\alpha}$

そこでの下限を $c_1=\inf\{J(v)|v\in V\}$ のように定める。また、 v_n を J(v_n) が単調減少するようなの中の数列であるとする。は下に有界であったから、 J(v_n) は c_1 に収束する。つまりｎを大きくすれば J(v_n) は c_1 にいくらでも近づく

$\alpha||v_n-v_m||^2\le a(v_n-v_m,v_n-v_m)\\ \qquad\qquad\qquad =2a(v_n,v_n)+2a(v_m,v_m)-a(v_n+v_m,v_n+v_m)\\ \qquad\qquad\qquad =4J(v_n)+4J(v_m)-8J(\frac{v_n+v_m}{2})\\ \qquad\qquad\qquad \le4J(v_n)+4J(v_m)-8c_1$

最後の変形ではが凸であるから $\frac{v_n+v_m}{2}\in V$ であることを用いた。ここで J(v_n) 、 J(v_m) が c_1 に収束するので、 n,m を大きくすれば、上式はいくらでも０に近づけることができる。

$||v_m-v_n||<\epsilon\quad \forall\epsilon>0 \quad\exist N\quad n,m>N$

つまり v_n はCauchy列である。よって $u=\lim_{n\right\infty}v_n$ が存在し、が閉空間であるから $u\in V$ である。の有界性より、 $J(u)=\lim_{n\right\infty}J(v_n)=\inf_{v\in V}J(v)$ である。

さて、Lax-Milgramの補題と特徴化定理により汎関数が最少となるような解の唯一存在性と解を与える方程式を導くことができた。次に実際の問題にこれを応用してみよう。

２次楕円型偏微分方程式と汎関数

次のような２次楕円型の境界値問題を解くとする

$\{\begin{array}{r}Lu=\frac{\partial}{\partial x_i}(a_{ik}\frac{\partial u}{\partial x_k})=f\\u=0\end{array} \quad \begin{array}{l} in \quad\Omega \\on \quad\partial\Omega\end{array}$

この場合に次の方程式の解は次の汎関数

$J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-(f,v)_0$

の境界上で０であり $C^2(\Omega)\cap C^0(\bar{\Omega})$ に含まれる全ての関数の中での最小値である。（但し $C^2(\Omega)\cap C^0(\bar{\Omega})$ は領域の内側で２階微分可能で２階微分連続、かつ境界上で連続な関数の集合)但し、

$a(u,v)=\int_{\Omega} \{ a_{ik}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial v}{\partial x_k}+a_0 uv \} dx$

$(f,v)_0=\int_{\Omega}fv dx$

である。

証明

ここでを上の楕円型の偏微分方程式の解とする。または境界上で0となる任意の $v\in C^1(\Omega)\cap C^0(\bar\Omega)$ とする。

$a(u,v)-(f,v)_0=\int_{\Omega}\[ a_{ik}\frac{\partial v}{\partial x_i}\frac{\partial v}{\partial x_k}+a_0 uv-fv \]dx\\\qquad\qquad = \int_{\Omega}\[ \frac{\partial}{\partial x_i}(v a_{ik}\frac{\partial u}{\partial x_k})-v\frac{\partial}{\partial x_i}(a_{ik}\frac{\partial u}{\partial x_k})+a_0 uv-fv \]dx\\\qquad\qquad = \int_{\partial\Omega}n_i(v a_{ik}\frac{\partial u}{\partial x_k})ds+\int_{\Omega}v\[-\frac{\partial}{\partial x_i}(a_{ik}\frac{\partial u}{\partial x_k})+a_0 u-f\]dx\\\qquad\qquad\int_{\Omega}v\[Lu-f\]dx=0$

が成り立つ。但し、２番目の式から３番目の式はGreen-Gaussの定理を用いた。従ってが解ならば境界上でv=0となる任意の $v\in C^2(\Omega)\cap C^0(\bar\Omega)$ について( $C^2\subset C^1$ である)

a(u,v)=(f,v)_0

を満たす。よって特徴化定理よりが解であることの必要十分条件は

汎関数 $J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-<f,v>$ がにおいて全ての境界上で０となる $C^2(\Omega)\cap C^0(\bar\Omega)$ の関数の中での最小値をとることである。

上で示した汎関数

$J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-(f,v)_0$

の最小値が上の楕円問題の解となるのは境界上で０となる $v\in C^2(\Omega)\cap C^0(\Omega)$ の関数の中でが最小値をとる場合である。残念ながら $\in C^2(\Omega)\cap C^0(\Omega)$ では最小値となる解の唯一存在性に必要なaの楕円性を示すことはできない。その代わりに $v\in H^1_0(\Omega)$ で上の汎関数の最小値の唯一存在性を示すことができる。 $v\in C^2(\Omega)\cap C^0(\Omega)$ の中での最小値ではなくて $v\in H^1_0(\Omega)$ の中での最小値であるので解は２階微分ができてそれが連続という条件を満たさなくてもよく、より弱い１回微分が２乗可積分であるという条件を満たしさえすればよい。このような H^1_0 の中で汎関数を最少にするような解は解としての条件が弱いことから弱い解(weak solution)と呼ばれる

弱い解の唯一存在性

汎関数 J(v) を $v\in H^1_0(\Omega)$ の範囲で最小化するような弱解は常に唯一存在し、次の方程式を満たす

$a(u,v)=(f,v)_0 \quad \forall v\in H^1_0(\Omega)$

これを証明しよう。

証明

の H^1_0 における有界性と楕円性をまずしめす。これを示すことができれば、Lax-Milgramの定理から解の唯一存在性がいえる。

c_1 は係数 $a_{ik}$ の上限とする。つまり $c=\sup\{|a_{ik}(x)|;\quad x\in\Omega, \quad1\le i, k\le n\}$ するとCauchy-Schwarzの定理より

$\left|\sum_{i,k}\int a_{ik}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial v}{\partial x_k}dx\right|\le c_1\sum_{i,k}\int\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_k}\right|dx\\ \qquad\qquad\qquad\le c_1\sum_{i,k}\[\int(\frac{\partial u}{\partial x_i})^2dx\int(\frac{\partial u}{\partial x_k})^2dx\]^{1/2}\\ \qquad\qquad\qquad\le c_1n^2|u|_1|v|_1$

c_2 は係数 a_0 の上限とする。つまり $c=\sup\{|a_0(x)|;\quad x\in\Omega\}$ このときCauchy-Schwarzの定理より、

$\left|\int a_0 u v dx\right|\le c_2\int|uv|dx\le c_2\int u^2dx\int v^2dx=c_2||u||_0||v||_0$

$C=\max\{c_1,c_2\}$ とする。また |.|_1<||.||_1 かつ ||.||_0<||.||_1 が成り立つから、

$a(u,v)\le C||u||_1||v||_1$ が成り立つ。つまり、関数は有界である。

$\frac{\partial v}{\partial x_i}<\infty$ であるので、次のような $\alpha$ を定めることができる。

$\sum_{i,k}a_{ik}\frac{\partial v}{\partial x_i}\frac{\partial v}{\partial x_k}\ge\alpha\sum_i(\frac{\partial v}{\partial x_i})^2$

上式を積分して

$a(v,v)\ge\alpha\sum_i\int(\frac{\partial v}{\partial x_i})^2dx=\alpha|v|^2_1\qquad \forall v\in H^1(\Omega)$

Poincare-Friedrichの不等式より H^1_0 の中では２つのノルム |.|_1 、 ||.||_1 は同一である。つまり

$a(v,v)\ge\alpha||v||_1$ が成り立つ。前に示したとおり有界性も成り立つので関数は H^1_0 内で H^1- 楕円双線形関数である。

Lax-Milgramの定理から汎関数の解が一意に存在し、これは特徴化定理からこれは弱い解である。

Ritz-Galerkin法

ある楕円型の境界値問題は、 $H^m(\Omega)$ 、や $H^m_0(\Omega)$ 上で関数を最小化するような変分問題を解くことで得られた。計算機上で解を求めたい場合は次元の数が限られているので、ある部分空間の中で汎関数の最小値を求め、それを近似解とする。ここで S_h は離散的な関数空間を表し、有限次元の部分空間であるとする。hは離散化パラメーターである。

次のような変分問題を考える

$\min_{v\in S_h}\frac{1}{2}a(v,v)-<l,v>$

特徴化定理から

$a(u_h,v)=<l,v> \quad \forall v\in S_h \qquad\qquad (*)$

$u_h\in S_h$ が上式の解であれば、 u_h はこの変分問題の解であるということがいえる。ここで関数 $\phi_1,\phi_2,\ldots,\phi_N$ が S_h の基底である、つまり $S_h=span\{\phi_1,\phi_2,\ldots,\phi_N\}$ であるとすると、(*)は次に等しい

$a(u_h,\phi_i)=<l,\phi_i>\qquad\qquad i=1,\ldots,N$

$u_h\in S_h$ であったので

$u_h=\sum_{k=1}^N z_k\phi_k$

と書くことができる。これを上式に代入して

$\sum_{k=1}^N a(\phi_k,\phi_i)z_k=<l,\phi_i>\qquad\qquad i=1,\ldots,N$

ここで行列を $A_{ik}=a(\phi_k,\phi_i)$ 、ベクトルを $b_k=<l,\phi_i>$ のようにおくと、 Az=b の連立一次方程式の形に書くことができる。

Az=b を解くことでを求め、 u_h を求める方法をRitz-Galerkin法と呼ぶ。

Ritz-Galerkin法の解が正解の離散空間へのエネルギーノルムによる正射影であるという性質

Ritz-Galerkin法の解 u_h の性質を調べてみよう。ここで正解はであるとする。

$a(u,v)=<l,v> \quad \forall v\in V$

Ritz-Galerkin法より

$a(u_h,v)=<l,v> \quad \forall v\in S_h\subset V$

上式を差し引いて

$a(u-u_h,v)=0 \quad \forall v\in S_h$

が成り立つ。ここで S_h の線形性により、任意の $v_h\in S_h$ に対して $u_h-v_h\in S_h$ であるから、

$a(u-u_h,v_h-u_h)=0 \quad \forall v\in S_h$

a(u,v) の正定値性、正規性、線形性、対称性よりこの双線形形式は内積としての性質を持ち、 a(u,v)=(u,v)_A などと書かれる。またこのノルムから作られるノルム $\sqrt{a(v,v)}=||a(v,v)||_A$ と書き、これをエネルギーノルムと呼ぶ。Ritz-Galerkin法の解 u_h は

$(u-u_h,v_h-u_h)_A=0\quad\forall v_h\in S_h$

を満たす。つまり、正解とRitz-Galerkin法との差はあらゆる離散空間上のベクトルと内積で直行している。Ritz-Galerkin法は離散空間上への正解のエネルギーノルムによる正射影であるといえる。これはRitz-Projectorと呼ばれる。

特徴化定理より u_h は正解からのAノルムでの距離の2乗を表す次の関数

J(v)=(v-u,v-u)_A=||v-u||^2_A

を $v\in S_h$ の中で最小化していることがわかる。 e=v-u は誤差であるから、Ritz-Galerkin法は誤差のエネルギーノルムを最小化する方法であるといえる。これは誤差最小化原理と呼ばれる。

（ユークリッド空間みたいに表した）Ritz-Galerkin法の解の様子

離散化解は連続解との差は離散空間とエネルギーノルムで直交する。このとき離散解と連続解との差のエネルギーノルムは最小化されている。

Céaの補題

を次のような空間だとする $H^m_0(\Omega)\subset V\subset H^m(\Omega)$ ここでがV-楕円双線形写像であるとする。また、が空間の中の、 u_h が空間 $S_h\subset V$ の中における変分問題の解であるとする。このとき
$||u-u_h||_m\le \frac{C}{\alpha}\inf_{v_h\in S_h}||u-v_h||_m$
が成り立つ。

証明

Ritz-Galerkin法の解 u_h は以下のような性質が成り立った。

$a(u-u_h,v_h-u_h)=0 \quad \forall v\in S_h$

が成り立つ。これを用いて

$\alpha||u-u_h||_m^2\le a(u-u_h,u-u_h)=a(u-u_h,u-v_h+v_h-u_h)\\ \qquad \qquad=a(u-u_h,u-v_h)+a(u-u_h,v_h-u_h)=a(u-u_h,u-v_h)\\ \qquad \qquad\le C||u-u_h||_m||u-v_h||_m$

両辺を ||u-u_h||_m で割って $\alpha||u-u_h||_m\le C||u-v_h||_m\quad\forall v\in V$ が得られる。

つまり $||u-u_h||_m\le \frac{C}{\alpha}\inf_{v_h\in S_h}||u-v_h||_m$ が成り立つ。

Céaの補題はRitz-Galerkin法で得られた解がどの程度本当の解に近いのかを評価する上で重要である。 $\inf_{v_h\in S_h}||u-v_h||_m$ は離散空間上で表現できる中でもっとも正解に近い点の正解との距離を表しており、Ritz-Galerkin法はで得られる解と解析解からの距離は上の定理によって上限が定められている。定義から $C/\alpha>1$ であるが、この値が小さいほど解の近似が良いことを示している。ロッキングなどが起こっているときはこの値が大きく、実際の正解と程遠いような離散解が得られる。また、 $C/\alpha$ がある程度小さい場合は、Ritz-Galerkin法の解が離散空間上で表現できるもっとも正解に近い解とある程度近いといえるので、解を表現できるように離散空間を設定することでRitz-Galerkin法の解を正解に近づけることができる。

一般的な解の一意存在性とその安定性

双線形形式 $a:U\times V\rightarrow \Re$ とする。ここで次を満たすように線形写像 $A:U\rightarrow V'$ を定める

$a(u,v)=<Au,v>\quad\forall v\in V$

このようにを定義した場合は a(u,v)=<f,v> の解は単純に Au=f を解けばよい。

双線形形式が次の条件を満たすとき、線形写像は同型写像である。(が同型写像であるとは、が全単写で有界かつ、 $A^{-1}$ も有界であるということ)

有界性
ある $C\in \Re$ が存在し、 $|a(u,v)|\le C||u||_U ||v||_V$
inf-sup条件
ある $\alpha \in\Re$ が存在し、 $\inf_{u\in U}\sup_{v\in V}\frac{a(u,v)}{||u||_U||v||_V}\ge\alpha\gt 0$
全ての $v\in V$ に対して、ある $u\in U$ が存在し、

$a(u,v)\ne 0$

証明

の有界性はの有界性から示される。とすると、
$||f||=\sup_{v\in V}\frac{<f,v>}{||v||_V}=\sup_{v\in V}\frac{a(u,v)}{||v||_V}\le C||u||_U$
よってが有界であることがわかる。

が単写であることはinf-sup条件から明らかである。なぜなら、

$a(u_1,v)=a(u_2,v)\quad \forall v\in V$

$\sup_{v\in V}a(u_1-u_2,v)=0$

$u\ne 0$

$\sup_{v\in V}\frac{a(u,v)}{||v||_V}\ge\alpha||u||_U$

次に $A^{-1}$ の有界性について示す。が単写であることがわかったのでの値域 $f\in A(U)$ で逆写像が一意にきまる。これを次のように書く $u=A^{-1}f$ このとき、inf-sup条件から、
$\alpha||u||_U\le\sup_{v\in V}\frac{a(u,v)}{||v||_V}=\sup_{v\in V}\frac{<f,v>}{||v||_V}=||f||$
が成り立つ。これから $A^{-1}$ が有界写像であることがわかる。

次にが全写であることを示す。これには３番目の条件を用いる。
さて、まず仮に３番目の条件がないとした場合にの値域を定めよう。次のようなの部分空間 $\hat{V}\subset V$ を定める。
$\hat{V}=\{v\in V; a(u,v)=0 \quad \forall u\in U\}$ (３番目の条件は $\hat{V}=\empty$ であるといっている。)
さらに、次のようなの部分空間 $\hat{V}^0\subset V'$ を定める。
$\hat{V}^0=\{f\in V';<f,\hat{v}>=0\quad \forall \hat{v}\in \hat{V}}$

明らかにの値域は $\hat{V}^0$ に含まれる、つまり $A(U)\subset \hat{V}^0$ となる。なぜなら、全ての $u\in U$ に対して、となるについて、 $Au=f\in V'$ とするとよりとの内積が０となるので $f\in \hat{V}^0$ であるからである。
さらに $\hat{V}^0\subset A(U)$ を背理法で示す。仮にに含まれないような $\hat{V}^0$ の要素 $f_0\in \hat{V}^0$ が存在するとする。は凸閉空間であるので(閉空間であることはの有界性から明らか)、分離定理より、ある $v_0\in V$ と実数が存在し、
$\langle f_0,v_0\rangle\quad \gt\quad a$ かつ $\langle g,v_0\rangle \le a\quad\forall g\in A(U)$
が成り立つ。ここで、は線形射影だから、明らかに $\langle g,v_0\rangle=0\quad\forall g\in A(U)$ が成り立たなければならない。このときより $\langle f_0,v_0\rangle>0$ 。定義より $v_0\in \hat{V}$ だから $\langle f_0,v_0\rangle= 0$ である。これは明らかに $\langle f_0,v_0\rangle>0$ に矛盾する。よって $\hat{V}^0\subset A(U)$ となり、 $\hat{V}^0=A(U)$ が成り立つ。

以上から３番目の条件がないときはは $U\right \hat{V}^0$ の同型写像である。
３番目の条件が成り立つとき、つまり、 $\hat{V}=\empty$ のとき、定義から明らかに $\hat{V}^0=V'$ よって、が成り立つ。よっては $U\rightarrow V'$ への同型写像である。

Lax-Milgramの定理は上の特殊な場合で,、が同じ空間の場合の解の一意存在性と安定性を示している。、が同じ空間の場合で関数が有界性と強圧性を持っている場合、上の定理のi,ii,iiiが成り立つことを確認しよう。

iの有界性については明らかである。また、
$\sup_{v\in V}\frac{a(u,v)}{||v||}\ge\frac{a(u,u)}{||u||}\ge \alpha||u||$
よって強圧性を持っていればiiのinf-sup条件は成り立っている。
また $a(u,u)\ge\alpha||u||^2\gt0\quad \forall u\ne0$ であるからiiiの条件が成り立っている。以上でLax-Millgramの定理が成り立てば、上の定理が成り立つことがわかる。

inf-sup条件

上の３番目の条件がない場合について詳しく調べる。有界双線形形式 $a:U\times V\rightarrow \Re$ について以下の命題は等しい

ある正の定数 $\alpha$ が存在して次を満たす
$\inf_{u\in U}\sup_{v\in V}\frac{a(u,v)}{||u||_U||v||_V}\ge\alpha$
オペレータは $U\rightarrow \hat{V}^0$ の同型写像で次を満たす
$||Au||_V\ge \alpha||u||_U\quad\forall u\in U$
オペレターは $\hat{V}^{\bot}\rightarrow U'$ の同型写像で次を満たす
$||A'v||_U\ge\alpha||v||_V\quad\forall v\in\hat{V}^{\bot}$

空間、共役空間の様子

$\hat{V}=\{ v \in V;a(v,u)=0\quad\forall u\in U\}$ $\hat{V}^0=\{f\in V';<f,v>=0\quad\forall v\in \hat{V}\}$ $\hat{V}^{\bot}$ は $\hat{V}$ の直交補空間

証明

上から、iとiiは等しい。そこでiiiとiiが等しいことを示す。

iiが成り立ってるとするときにiiiが成り立つことを示す。とは共役空間なので、Rieszの表現定理からある $v\in \hat{V}^{\bot}$ に対して $<f,w>=(v,w)\quad\forall w\in V$ となるような $f\in V'$ を選ぶことができる。 $v\in \hat{V}^{\bot}$ なので $\forall\omega\in \hat{V}\subset V$ に対して (v,w)=<f,w>=0 である。 $\hat{V}^0$ の定義から $f\in \hat{V}^0$ である。さて、iiが成り立っているとすると、写像は $\hat{V}^0$ からへの全単写であったから、ある Au_1=f となるような $u_1\in U$ が一意に存在する。

$(v,w)=<f,w>=<Au,w>=a(u_1,w)\quad \forall w\in U$

ここでiiが成り立っているので $\alpha||u_1||_U\le||Au_1||_V=||g||_V=||v||_V$

ここで w=v とおくと

$||A'v||_U=\sup_{u\in U}\frac{<A'v,u>}{||u||_U}\\\qquad\qquad=\sup_{u\in U}\frac{a(u,v)}{||u||_U}\ge\frac{a(u_1,v)}{||u_1||_U}=\frac{(v,v)}{||u_1||_U}=\frac{||v||^2_V}{||u_1||_U}\ge\alpha||v||_V\quad\forall v\in \hat{V}^{\bot}$

が成り立つ。これを用いるとオペレータが同型写像であるということが上の定理を使って示すことができる。

次にiiiが成り立っているとするときにiが成り立つことを示す。

とは共役空間なのでそのノルムは次のように書くことができる。

$||u||_U=\sup_{g\in U'}{\frac{<g,u>}{||g||_U}\quad\forall u\in U$

iiiが成り立つことから、 $A':\hat{V}^{\bot}\rightarrow U'$ が同型写像なので任意の $g\in U'$ に対して A'v=g となるような $v\in\hat{V}^{\bot}$ が一意に決まる。よって

$||u||_U=\sup_{v\in \hat{V}^{\bot}}\frac{<A'v,u>}{||A'v||}=\sup_{v\in \hat{V}^{\bot}}\frac{a(v,u)}{||A'v||}\le\sup_{v\in \hat{V}^{\bot}}\frac{a(v,u)}{\alpha||v||_V}\quad\forall u\in U$

よって

$\alpha||u||_U\le\sup_{v\in \hat{V}^{\bot}}\frac{a(v,u)}{||v||_V}\le\sup_{v\in V}\frac{a(v,u)}{||v||_V}\quad\forall u\in U$

これはiの条件である。よってiiiが成り立つときはiが成り立つ。

以上からi,ii,iiiは互いに等しい命題であることがわかる。

制約条件つき変分問題

、をそれぞれHirbert空間とする。 a,b をそれぞれ次のような有界双線形関数であるとする。

$a:\quad V\times V\rightarrow \Re$

$b:\quad V\times M\rightarrow \Re$

次のような関数を

$J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-<f,v>$

次の制約条件の下で解く

$b(v,\mu)=<g,\mu>\quad \forall \mu\in M$

このような制約条件つきの変分問題の代表的な解法としてLagrange未定乗数法が挙げられる。Lagrange未定乗数法を使うとこの問題は次のような関数の極値問題に対応づけることができる。

$\cal{L}(v,\lambda)=J(v)+[b(v,\lambda)-<g,\lambda>]$

明らかに $(v,\lambda)$ が解である場合に次の関係を満たす(実際は最初の不等号は等号である）

$\cal{L}(v,\mu)\le\cal{L}(v,\lambda)\le\cal{L}(u,\lambda)\quad\forall (u,\mu)\in V\times M$

これがこのタイプの問題が鞍点型と呼ばれる所以である。

さて上の関数 $\cal{L}$ が $(u,\lambda)$ で極値をとる場合、 $u,\lambda$ における変分が０であるから

$\delta \cal{L}=a(u,\delta u)-<f,\delta u>+b(\delta u,\lambda)+b(v,\delta\lambda)-<g,\delta\lambda>=0\quad\forall\delta u\in V,\quad\forall \delta\lambda\in M$

簡単のため $\delta u=v$ 、 $\delta\lambda=\mu$ と書くと、 $u,\lambda$ が $\cal{L}$ の極値であるということは以下を満たすことに等しい。

$\{\begin{array}{l}a(u,v)+b(v,\lambda)\\b(u,\mu)\end{array}\begin{array}{l}=<f,v>\quad\forall v\in V\\=<g,\mu>\quad\forall \mu\in M\end{array}$

さて上の方程式の解が一意に存在して安定であることを調べてみる。

制約条件つき変分問題の解の一意存在性と安定性について

次のような写像考えると

$L:V\times M\rightarrow V'\times M'$

この写像が同型写像(全単写、有界、逆写像が有界)になるためには以下のiとiiが必要十分条件である。

双線形形式が $\hat{V}$ において楕円である。つまり、
$a(u,v)\le C||u||_V||v||_V\quad\forall u,v\in \hat{V}$
$a(v,v)\ge\alpha||u||_V^2 \quad\quad\alpha>0$
ここで空間 $\hat{V}$ とは制約条件を満たすの部分空間である。
有界双線形形式がinf-sup条件を満たす
$\inf_{\mu\in M}\sup_{v\in V}\frac{b(v,\mu)}{||v||_V||\mu||_M}\ge \beta$

証明

オペレータ $B:V\rightarrow M'$ を次のように定義する

$b(v,\mu)=<Bv,\mu>\quad\forall \mu\in M$

同様にオペレータ $B':M\rightarrow V'$ を次のように定義する。

$b(v,\mu)=<v,B'\mu>\quad\forall v\in V$

inf-sup条件より次がいえる。

オペレータは $\hat{V}^{\bot}\rightarrow M'$ の同型写像であり、 $||Bv||_M\ge\beta||v||_V$ が成り立つ

オペレータは $M\rightarrow \hat{V}^0$ の同型写像であり、 $||B'\mu||_V\ge\beta||\mu||_M$ が成り立つ。

が同型写像であったから、 $g\in M'$ に対してある $v_0\in \hat{V}^{\bot}$ が唯一解として存在して Bv_0=g となる。そして $\beta||v_0||_V\le||g||_M$ が成り立つ。

w=u-u_0 とおくと問題は次の方程式を解くのと等しくなる

$\{\begin{array}{l}a(w,v)+b(v,\lambda)\\b(w,\mu)\end{array}\begin{array}{l}=<f,v>-a(u_0,v)\quad\forall v\in V\\=0\quad\forall \mu\in M\end{array}$

$J'(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-<f,v>+a(u_0,v)$ とおくと、上の問題の解 $\omega$ は $v\in \hat{V}$ の中で J(v) を最小化する解に等しい。aは $v\in \hat{V}$ で楕円性を持っていたからLax-Milgramの定理より J(v) を最小にするような $\omega\in\hat{V}$ が存在し、そのとき特徴化定理より

$a(\omega,v)=<f,v>-a(u_0,v)\quad\forall v\in \hat{V}$ を満たす。

解 $\omega$ についてCauchy-Schwalzの定理より次が成り立つ。

$\inf_{v\in V}a(\omega,v)\le a(\omega,\omega)=<f,\omega>-a(u_0,\omega)\le||f||_V||\omega||_V-C||u_0||_V||\omega||_V$

$a(\omega,\omega)\ge \alpha||\omega||^2$

上の２つの式を合わせると次のことがいえる。

$||\omega||_V\le \frac{1}{\alpha}(||f||_V+C||u_0||_V)$

さらに

$||u||_V\le ||u_0||_V+||\omega||_V\le||u_0||_V+\frac{1}{\alpha}(||f||_V+C||u_0||_V)\le\frac{1}{\alpha}||f||_V+\frac{1}{\beta}(1+\frac{C}{\alpha})||g||_M$

さて、 $\omega$ を評価することができたので、もう一つの解 $\lambda$ を評価しよう。

$\lambda$ は次の方程式を満たす。

$b(v,\lambda)=<f,v>-a(u_0+\omega,v)\quad\forall v\in V$

上式より $b(v,\lambda)=<v,B'\lambda>=0\quad\forall v\in\hat{V}$ だから、 $B'\lambda\in \hat{V}^0$ となる。はから $\b{V}'$ への全単写だったから唯一 $\lambda$ が存在する。

$|<v,B'\lambda>|=|<f,v>-a(u_0+\omega,v)|\le|<f,v>|+|a(u,v)|\le||f||_V||v||_V+C||u||_V||v||_V$

また $||B'\lambda||_V\ge \beta||\lambda||_M$ が成り立つことと、 $B'\lambda\in \hat{V}^0$ であることを利用して

$|<v,B'\lambda>|=||v||_V||B'\lambda||_V\ge||v||_V\beta||\lambda||_M$ だから、

$||\lambda||_M\le|<f,v>|+|a(u,v)|\le\frac{1}{\beta}(||f||_V+C||u||_V)$

まず、任意の $(f,g)\in V'\times M'$ について、解 $(u,\lambda)$ は次のように評価される。

$||u||\le \frac{1}{\alpha}||f||+\frac{1}{\beta}(1+\frac{C}{\alpha})||g||$

$||\lambda||\le \frac{1}{\beta}(1+\frac{C}{\alpha})||f||+\frac{1}{\beta}(1+\frac{C}{\alpha})\frac{C}{\beta}||g||$

つまりは全写であり、 $L^{-1}$ は有界

次にの単写性を示す。は線形オペレータだから $Ker(L)=\{0\}$ となれば単写である。そこで (f,g)=(0,0) のときに解が $(u,\lambda)=(0,0)$ となるかを調べる。この時解くべき方程式は次のとおり

$\{\begin{array}{l}a(u,v)+b(v,\lambda)\\b(u,\mu)\end{array}\begin{array}{l}=0\quad\forall v\in V\\=0\quad\forall \mu\in M\end{array}$

ここでにを、 $\mu$ に $\lambda$ を代入すると a(u,u)=0 となり、の楕円性から u=0 となる。これから $b(v,\lambda)=0\quad\forall v\in V$ がいえる。inf-sup条件から、 $\sup_{v\in V}\frac{b(v,\lambda)}{||v||_V}\ge\beta||\lambda||_M>0$ であるから、 $b(v,\lambda)=0\quad\forall v\in V$ となるのは $\lambda=0$ のときのみ。よって $(u,\lambda)=(0,0)$ がいえる。よってが単写であることがわかる。

の有界性は、の有界性から明らか。

以上から、上の条件が成り立つとき、が同型写像であることがわかる。

参考にしたもの

Books

有限要素法の数理	菊池文雄　著
有限要素法概説	菊池文雄　著
非線形有限要素法の基礎と応用	野口裕久久田俊明　著
Finite Element Procedures	Klaus-Jurgen Bathe 著
Finite Elements: Theory, Fast Solvers, and Applications in Solid Mechanics	Dietrich Braess 著

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