強形式ラプラス方程式の弱形式化

強形式で書くとラプラス方程式を解く問題は次のようにかける．

$$\nabla^2 \phi = 0$$ (1)

$$\phi = g_1 \qquad (\quad on \quad S_1 \quad)$$ (2)

$$\frac{\partial \phi}{\partial n } = g_2 \qquad (\quad on \quad S_2 \quad)$$ (3)

境界条件は式のように値が決定されている場合のDirichlet条件と， 式のように法線方向の微分値が決定されている場合の Neumann条件の２種類に分けられる． これらは，第一種境界条件，第二種境界条件または， 基本境界条件，自然境界条件と呼ばれる場合もある． 境界はDirichlet条件かNeumann条件のどちらかが設定されていなくては， 解が定まらない． また，Dirichlet条件とNeumann条件が与えられる境界は重複してはならない． つまり，

$$S_1 \cup S_2 = S \qquad S_1 \cap S_2 = \emptyset$$ (4)

以下強形式で書かれたラプラス方程式を弱形式に変形する.$\delta\phi$を

$$\delta\phi = 0 \qquad ( \quad on \quad S_1 \quad )$$ (5)

を満たす任意の関数とする.式？の両辺に$\delta\phi$をかけて，$V$上で積分すると

$$\int_V \nabla^2 \phi \delta \phi dV = 0$$ (6)

となる. ここで，微分の連鎖則より

$$\frac{\partial}{\partial x_k} (\frac{\partial\phi}{\partial ... ...ial\phi}{\partial x_k} \frac{\partial\delta\phi}{\partial x_k}$$ (7)

が成り立つ．これを$V$内で積分すると

$$\int_V \nabla \cdot ( \nabla \phi \delta \phi ) dV = \int_V... ...a \phi dV + \int_V (\nabla \phi) \cdot (\nabla \delta \phi) dV$$ (8)

第２項に式を代入する．また，右辺と左辺を入れ替えると，

$$\int_V (\nabla \phi) \cdot (\nabla \delta \phi) dV = \int_V \nabla \cdot ( \nabla \phi \delta \phi ) dV$$ (9)

右辺にGaussの発散定理を用いると

$$\int_V (\nabla \phi) \cdot (\nabla \delta \phi) dV = \int_S ... ...S = \int_S \frac{ \partial \phi }{ \partial n } \delta \phi dS$$ (10)

$S_1$上では$\delta\phi$は０であるから

$$\int_V (\nabla \phi) \cdot (\nabla \delta \phi) dV = \int_{S... ... \int_{S_2} g_2 \delta \phi dS = \int_{S_2} g_2 \delta \phi dS$$ (11)

よって，弱形式で書かれたラプラス方程式は以下の通り

$$\int_V (\nabla \phi) \cdot (\nabla \delta \phi) dV = \int_{S... ...hi\ni \{ \delta\phi \mid \delta\phi=0 \quad (on \quad S_1) \}$$ (12)

$$\phi = g_1 \qquad (\quad on \quad S_1 \quad)$$ (13)